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Question

함수 식에서 x(x에대한삼차식) 이 존재 할 때 (x에대한3차식)을 따로 미분해서 도함수 그린후 극대극소 구분하는게 어떤 개념이 적용되는건가요? ㅠㅠ

문제는 엡실론 3회 21번 입니다 (안보셔두되요 !)

돋네 · Accepted Answer

삼차함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 다를 때, 삼차함수가 세 개의 근을 갖는다는 사실은 이미 배우셨을 것이라 생각합니다. 혹시 배우시지 않았다면, x축과 삼차함수를 그려보시면 쉽게 알 수 있습니다. 극댓값은 x축보다 위에 있고(극댓값이 양수) 극솟값이 x축보다 아래에 있으면(극솟값이 음수) x축과 함수 y=f(x)의 그래프는 반드시 서로 다른 세 점에서 만나게 되어있습니다.
즉 f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) 꼴로 인수분해가 가능하다는 말입니다. (a, b, c는 실수)
엡실론 A형 3회 21번 문제는 h1(x)와 h2(x) 중에서 서로 다른 세 실근을 갖는 삼차함수를 찾아내야만 하는 문제였습니다. 왜냐하면, f(x)=x{h1(x)} 또는 f(x)=x{h2(x)} 꼴인데, 조건 (다)에서 서로 다른 네 실근을 가져야한다고 했으므로, 인수분해하고 남은 나머지 삼차함수가 서로 다른 세 실근을 가져야하기 때문입니다. 즉, f(x)=x(x-a)(x-b)(x-c) 꼴로 인수분해가 되어야한다는 말입니다.
여기에서 주의할 점은, a, b, c 중에서 0이 있으면 안된다는 점입니다. 왜냐하면, 셋 중에 하나가 0이 있을 경우 (c=0이라 가정해보죠) f(x)=x^2(x-a)(x-b)이기 때문에 서로 다른 세 실근 a, b, 0만을 근으로 갖게 됩니다. 그래서 마지막 과정에 h2(0) != 0임을 체크한 것입니다.(!=은 부등호)
혹시 이해가 되지 않는 부분을 댓글로 남기시면 추가적으로 설명드리겠습니다.

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