누가누가 잘찍나(수학 ver.)
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다음 중 (a,b)(a,b는 실수)꼴의 개구간들의 합집합으로 나타낼 수 있는 집합은?
ex) 폐구간 [0,1]을 볼 때, 0을 포함하는 모든 개구간은 0보다 작은 원소 또한 포함해야 하므로 [0,1]은 개구간의 합집합으로 나타낼 수 없습니다. 한편 {x|x>0}=(0,inf)는 개구간 (0,1), (0,2), (0,3), ...들의 합집합으로 나타낼 수 있는데, 첫 번째 집합에 속하는 임의의 원소 a에 대해 a보다 큰 자연수 N이 존재하고, 이때 a는 구간 (0,N)에 속하기 때문입니다.
5번에서 U는 각 항이 0 또는 2인 ’모든‘ 수열 an에 대해
을 계산해서 나온 x들의 값의 집합입니다. 따라서 U는 0도 포함하고(모든 n에 대해 an=0인 수열), 1도 포함하며(모든 n에 대해 an=2인 수열에서 위 식의 값은 1), 1/4도 포함합니다(a1=0, a2=2, a3=0, a4=2,...일 때 위 식의 값은 2/9*1/(1-1/9)=1/4).
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아....
?
5번 집합은 1/3을 포함하지만, 1/3을 포함하는 개구간을 포함하지 않습니다. 1/3<x<2/3인 모든 실수 x를 포함하지 않기 때문이죠.????
뭔가 급수의 냄새가 짠하게 나는
사실 이 문제의 5번 보기를 해결하려면 저 집합을 급수가 아닌, 다른 걸로 보아야 합니다오
4번 집합은 어떤 개구간 (a,b)도 포함하지 않습니다. 모든 개구간 (a,b) 내에는 유리수가 무한히 많은데, 이 중 둘을 p,q라 하면 (a,b)는 p+(p-q)/sqrt(2)를 포함하며(p<p+(p-q)/sqrt(2)<q), 이 수는 무리수기 때문이죠.해설:
5번 집합은 칸토어 집합으로, 폐구간 [0,1]에서 먼저 개구간 (1/3, 2/3)을 제거하고, 그 다음에는 (1/9, 2/9)와 (7/9, 8/9)를 제거하고, 이런 식으로 매 단계에서 남은 구간들을 3등분하여 가운데 부분을 잘라내는 것을 무한히 반복해 만들어진 집합과 같음.
따라서 칸토어 집합의 여집합은 (-inf,0)U(1,inf)U(1/3,2/3)U(1/9,2/9)U...처럼 개구간들의 합집합으로 나타내짐.
ㅓㅜ 지구인이 알아들을 수 있는 언어로 써주시면 안될까요오
수학 정답은 0,1,-1이 많지.. ㅋ 개쉽군 정답은 "0"