기울기의 극한vs미분계수 질문
게시글 주소: https://orbi.kr/00066296032
수2 수분감 강의를 듣다보니 기울기의 극한과 미분계수는 다른 것이지만, 다항함수에서는 '기울기의 극한=미분계수' 라는 말씀을 하시던데 이는 다항함수에, 한해서만 적용되는 건가요? 아니면 미분 가능한 모든 함수는 '기울기의 극한=미분계수' 인가요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
박종민쌤 QED 합류하려는데 0 0
지금 개강했나요? 수강생 아니면 강사만의 풀이방식을 따라가기 어려울까요? 박종민...
-
문학은… 잘 모르겠는데 재보면 5분 나올 때도 있음
-
2옥 라 까지가 한계구나 0 0
진성으로 그 위를 뚫는 사람은 진짜 ㄷㄷ
-
현역 땐 걍 버렸는데 올해는 현우쌤 과제에 있어서 억지로 하는 중 ㅠㅠㅠ
-
글리젠 없는 이유) 2 0
다들 부엉모 풀고 있어서 그럼
-
작수 사탐 1등급 받으신분들 2 0
수특은 몇월에 공부하셨나요?
-
지문에몇분쓰는지안재봄 1 1
그만큼의데이터가없음일단
-
맛있는거는 먹고싶은데 7 0
음식을 먹으면 속이 금방 더부룩해짐 어디아픈가봄
-
지문유형별 평균 부여 시간 13 1
독서론 3분 가나형 지문 10분 과학/기술/예술 6분 인문/경제/법/사회 8분...
-
오 ㄱㅇㄷ 3 0
침대밑에서 2만원 발견함 이걸로 감기약이랑 담배 3갑 사야겠음
-
최근에는2키로가빠지긴함 4 0
5키로빼면40대될거같운
-
감기약 얼마임 1 0
계좌에 돈 없음 ㅅㅂ
-
살빠지려나 2 0
입맛이요즘레전드로없네..
-
셰리 와인 맬로 비트 1 0
코코로나이 코에가 모도라나이 히비 삿테 미테 츠요쿠미가시테
-
닉변하고싶어짐....
-
이거 앱 조아보이네 2 0
해설지 앞에있어서 깔려했는데 오루비에도 떠씀
-
키미와 즈루이즈루이즈루이즈루이 2 1
히토다 모오 와가마마나 히토노 나카니 키레이 쿠삿타 바츠
-
엥 4 0
뭐지 28 찍맞했는데 왜 틀렸다고 체크했지 27도 맞았는데 틀렸다고 체크했어씀 뭐지뭐지
-
19학년도 수능 비문핟 0 0
가능세계가 어렵단 말만 들어서 쫄았는데 정작 가능세계는 쉽고 앞에 법률행위랑 우주론...
-
키분시다이데스 보쿠와 7 0
데키오우에란다타타카우쇼오넨
-
이쁜 루비보고가세여 4 1
정실은 루비
-
아아! 오르비하다가 0 0
한손으로 핸드폰 하면서 오줌싸다가 떨어트림.. ....
-
여자들만 보면 흥분하는사람들이 7 0
있더라 눈치게임 1!
-
문학 소설 가끔 읽는데만 6~8분 쓰는데 이게 맞나 0 0
새기분에 있는 어려운 지문이긴함.
-
오류인줄 알고 급하게 문제 내렸다가 다시 올립니다. 0 0
21번급 자작문제 아까 올렸다가 여러번 검토하였는데 다시 오류가 발생한 줄 알고...
-
말안해도누군지알지이젠
-
갑자기 왼쪽 허벅지부터 발목까지랑 감기인지 감염병인지 머리가 너무 아픔
-
ㅁㅌㅊ
-
글 리젠이 왜 이리 안됑 3 2
그나저나 나 처럼 더프 생윤 윤사 본 사람의 후기가 많이 안 보이는 것 같은데 내 기분탓인가
-
김범준 스블 중에서 0 0
김범준 스블을 수학1, 수학2만 듣고 미적, 확통, 기하는 정병호 들을려고 하는데...
-
유대종 김승리 추천 2 0
작수 국어 안정2였는데 문학 두개 틀려서 문학만 들을건데 누가 더 나은가요?
-
4수 이상은 대학가도 제적 4 3
편입 인강 듣는데 씨네 ㅋ ‘9수, 10수. 실제 이야기에요. 메디컬 가봤자 F 두...
-
신택스 1 0
신택스 생각보다 너무 어려운데 밀고나가는게 맞을까요?시간도 너무 오래걸려요..
-
아 수학 ㅈㄴ 싫엉 1 0
레전드 싫어
-
피나스테리드 궁금한점 10 1
이것도 첨에 쉐딩현상 있나요?
-
서프, 더프를 봤는데 투과목 후기가 거의 안보이네 1 1
올해 투투 떡상각?
-
꿈에서 오르비언한테 3 1
실수로 본계로 릴스보냇던거같음
-
신촌 되게 맘에들음,, 4 0
처음엔 건물멀고 수업가기 불편해서 별로였는데 지름길이랑 셔틀타는법 익히니까...
-
내 글에 좋아오를 눌러라
-
배민배달오기전까지 0 0
붱모풀고 먹고 다시풀까
-
수능 끝나면 2 2
에게 해 해변에서 27수능 수학 분석하고시픔
-
쌍사 고민 0 0
지금 세지 버리고 동사로 갈아타서 동사 사문인데요 동사랑 너무 잘맞습니다 나무위키...
-
코드원왔는데 6 0
재밋어보임 걍 인강 개념서처럼 정리되어있겠거니 했는데 완전줄글이잖아 너무맘에듦이거
-
글 들어가서 조금만 그럴듯하면 손가락이 무의식적으로 좋아요를 눌러버림 댓달다가...
-
내일은 과외생 부엉모 풀려야지 0 0
-
솔직히 찐따랑 친구하느니 혼자가 나음 23 4
저녁메뉴추천좀ㅎㅎ
-
부엉이 모의고사 3 1
친구들한테 홍보할까
-
확통에서 기본개념이 같은것도 다른걸로 보는거잖아요 근데 가끔 전체경우 구할때...
-
이거 ㅈㄴ 옛날에 산 2025 설맞이가 집에 있는데 0 0
이 모고 어려움? 오늘 풀것 같은데
-
이거 맞냐 고3 영어 한 시간 빼고는 꿀알바긴 한데 식비 빠지고 공강인데 본가 못...
다항함수여도 구간별로 정의된 함수라면 다를 수 있습니다
미분계수가 존재하지 않지만 기울기의 극한이 존재하는 함수 : 대표적으로, 불연속함수면 가능.
미분계수와 기울기의 극한 모두 존재하는데 둘이 다른 함수 : 매우 특수한 경우임. x^2sin(1/x) 같은 경우만 되고, 다항함수 조합해서는 만들기 어렵습니다.
미분가능하면서 ’도함수가 연속인‘ 모든 함수는 둘이 동일합니다.
위의 내용은 이해했습니다. 아래에서 '미분 가능하다'와 '도함수가 연속이다'가 같은 의미 아닌가요? 미분 가능하다는 것 자체가 좌미분계수=우미분계수니까요.
음 아니에요. 좌미분계수=우미분계수가 미분 가능의 (고교 수준에서의) 정의는 맞는데요, 그렇다고 도함수가 연속이라고 볼 순 없습니다.
x^2sin(1/x) 구글에 검색해 보세요!
도함수는 극한값을 함수로 정의한 것입니다. 극한을 바탕으로 정의했긴 했지만, 이 함수가 연속이어야 하는 이유는 특별히 없습니다.
생각보다 많이 어려워서 찾아봐도 직관적으로 이해되진 않지만 열심히 설명해주셔서 감사합니다.
혹시 위의 미분 가능하면서 도함수가 연속인 함수에 어떤 함수가 있는지 알려주실 수 있을까요?
대부분의 미분가능한 함수는 도함수가 연속이구요! 아마 도함수가 불연속인 케이스를 말씀하신 것 같네요.
예를 들어, f(x)를 다음과 같이 정의해보겠습니다.
f(x) = 0 (x=0)
f(x) = x^2sin(1/x) (x != 0)
그래프를 그려보면 사진과 같습니다.
”x=0에서의 미분계수“의 수식적, 기하적 의미는 그림과 같습니다.
(0,0)과 (h, f(h))를 지나는 직선의 기울기인데, h가 0에 가까워질수록 굉장히 작아져서 이 값은 0입니다.
도함수의 극한의 수식적, 기하적 의미는 그림과 같습니다.
제가 처음에 잘못 설명드렸네요.. 죄송합니다.
미분계수가 존재하지 않고 도함수(기울기)의 극한이 존재하는 함수 : 가능. 대표적으로 불연속 함수
미분계수는 존재하고 도함수(기울기)의 극한이 존재하지 않는 함수 : 가능. 다만 다항함수로 만드는건 어려움.
미분계수가 존재하고 도함수(기울기)의 극한이 존재하는 함수 : 이때는 둘이 같습니다. 즉, 일반적인 함수입니다.
즉 미분가능하면서 도함수의 극한이 존재한다면, 미분계수와 기울기의 극한은 같습니다.
아마 이게 다항함수 뿐 아닌 다른 함수에서도 적용되는지를 물어보신 것 같은데, 제가 처음에 이해를 잘못했습니다;
이 명제를 활용하면 미분계수와 도함수의 극한 중 쉬운 것을 계산하여 다른 것을 구할 수 있습니다.
(명제 증명은 그림 참고)
다만 기울기가 진동하여 도함수의 극한이 존재하지 않을 때도 있으므로, 모든 도함수가 연속은 아닙니다.
이해한 것을 정리하면
위의 사례에서 보았을때 0에서 미분계수는 0인데 반해 도함수 값은 수렴하지 않으므로 미분계수와 도함수 값은 엄밀히 보면 다른 개념임.
그래서 미분 가능하고, 동시에 도함수의 극한이 존재하는 경우에만 기울기의 극한과 미분계수가 같다고 볼 수 있음
이렇게가 맞나요? 너무 상세히 정리해주셨네요 감사합니다!
넵넵 맞아요! 그리고 문제 풀이적 관점에서 접근하면, 다음 정도로 정리하면 될 것 같아요.
1. 미분계수와 도함수 극한은 어느 한쪽만 구해도 되겠구나
(보통 복잡하게 정의된 함수에선 후자가 구하기 편해서 후자로 많이 구합니다.)
2. 대신 도함수 극한이 안 구해지면 미분계수의 정의로 계산해보자.