기울기의 극한vs미분계수 질문
게시글 주소: https://orbi.kr/00066296032
수2 수분감 강의를 듣다보니 기울기의 극한과 미분계수는 다른 것이지만, 다항함수에서는 '기울기의 극한=미분계수' 라는 말씀을 하시던데 이는 다항함수에, 한해서만 적용되는 건가요? 아니면 미분 가능한 모든 함수는 '기울기의 극한=미분계수' 인가요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이대로만 가자
-
중대 누백 4
중대 문이과 통합 누백으로 어느정도인가요? 물론 과마다 다르겠지만 범위로 알려주시면 ㅎㅎ
-
개같은년이라 할만한년은 없는데 전교에싸운애 딱한명잇음 담임샘잘걸려야함제발plz
-
오수생 오티간다 3
심장 벌벌 떨리노....
-
삼수선의 정리 3
회전으로 생각하기
-
진짠가? 예비 1번 추합 23년만이라는데 역사를 쓰셨네
-
출근
-
분명 입결 상으로는 시대인재 표가 틀리지 않다면 건대의 우위인데 사람들 말로는 둘...
-
베르테르 77번 2
진심으로 문제 푸는거보다 저 그림 안에 풀이 우겨넣는게 더 힘들엇음 이거 손풀이를...
-
라유는 잘구에오 2
맥모닝만 먹구
-
2학년인데 아직도 학교 고른거 후회도 되는데 원래 이럼? 4
24학번입니다 성한 상경~인문 (정확히 확인 안 해봄) vs 시립대 전전컴 이였는데...
-
얼버기 6
D-270
-
한국 N타워·日 도쿄타워 함께 빛났다…'한일 수교 60주년' 0
한일 양국이 올해 '국교정상화 60주년'을 기념해 남산 N서울타워와 도쿄타워를...
-
억울해하면 안되는거 아는디 아쉬워서 잠아 안오네요 심리학과 가고싶어서 중대심리랑...
-
끔찍할뻔했네요
-
얼버기 0
흐흐
-
하지만 매일 즐겁기만하면 인생이 나락가는 걸.. .
-
ㄹㅈㄷ 얼버기 6
-
진짜 왜?
-
망 0
-
함 0
-
레 0
-
크 0
-
함 0
-
재미없다
-
베르테르 38 0
외적벅벅
-
예비고2 뉴런 1
수2는 예전에 한번했었어서 이번 방학에 기억 상기시킬라고 뉴런을 들었어요...
-
돈만 되면 0
돈만 되면 시대 기숙을 갈까요 아님 독학기숙 가서 시대 라이브를 낄까요 시대는 os 합격이에여
-
괜찮아 링딩딩딩딩딩 링딩딩딩딩
-
함 풀어볼까
-
고닉중에 오르비를 가장 수능커뮤답게 하는건 나 아닐까 12
라는 생각을 햇음
-
베르테르 37번 0
ㅇㅇ
-
ㅈㄱㄴ
-
기차지나간당 4
부지런행
-
지금 뉴분감 빠르게 돌리고 시즌2부터 시대인재 라이브 커리 타려하는데 선생님 추천...
-
블랙 러시안 인듯
-
수능 말아먹은 재수생(05년생)인데요 수능을 응시하기만 해도 갈 수 있을 것 같은...
-
아빠 깨지않았을가 무섭다 어디갔다오냐하면 뭐라하지 담배냄새까지배서 수상항듯
-
24수능 투과목 표점이 폭등했잖아요.. 그래서 많은 사람들이 25때 투과목을...
-
1. 서강대 걸고 반수 생각하고 있어요. 3학점 3과목 신청하고 과감하게 한 과목은...
-
미안하다
-
자야지 0
-
하람이 어케 그러냐 짘짜 모르겠아 인생살면서 언젠가 다시한번 그럴날이오겠지
-
베르테르 36번 6
슬슬 잘까
-
새르비 새르비 하길래 한 번 들어와봤더니 이상한 글들이 정말 많네요 ㅜㅜㅜ
-
오르비 잘 자! 14
좋은 꿈 꾸기
-
고딩땐 진짜 열정많고 혈기왕성 했는데 지금은 그냥 무기력함 왜지
-
밤마다 오르비에 떨치러 간다고 글 싸는 새끼들이 한둘이 아니었는데 왜 나에 대한 기준만 엄격함?
-
왜저러는거지
-
ㅈㄱㄴ 먼가 코가 무겁고 조이는 느낌
다항함수여도 구간별로 정의된 함수라면 다를 수 있습니다
미분계수가 존재하지 않지만 기울기의 극한이 존재하는 함수 : 대표적으로, 불연속함수면 가능.
미분계수와 기울기의 극한 모두 존재하는데 둘이 다른 함수 : 매우 특수한 경우임. x^2sin(1/x) 같은 경우만 되고, 다항함수 조합해서는 만들기 어렵습니다.
미분가능하면서 ’도함수가 연속인‘ 모든 함수는 둘이 동일합니다.
위의 내용은 이해했습니다. 아래에서 '미분 가능하다'와 '도함수가 연속이다'가 같은 의미 아닌가요? 미분 가능하다는 것 자체가 좌미분계수=우미분계수니까요.
음 아니에요. 좌미분계수=우미분계수가 미분 가능의 (고교 수준에서의) 정의는 맞는데요, 그렇다고 도함수가 연속이라고 볼 순 없습니다.
x^2sin(1/x) 구글에 검색해 보세요!
도함수는 극한값을 함수로 정의한 것입니다. 극한을 바탕으로 정의했긴 했지만, 이 함수가 연속이어야 하는 이유는 특별히 없습니다.
생각보다 많이 어려워서 찾아봐도 직관적으로 이해되진 않지만 열심히 설명해주셔서 감사합니다.
혹시 위의 미분 가능하면서 도함수가 연속인 함수에 어떤 함수가 있는지 알려주실 수 있을까요?
대부분의 미분가능한 함수는 도함수가 연속이구요! 아마 도함수가 불연속인 케이스를 말씀하신 것 같네요.
예를 들어, f(x)를 다음과 같이 정의해보겠습니다.
f(x) = 0 (x=0)
f(x) = x^2sin(1/x) (x != 0)
그래프를 그려보면 사진과 같습니다.
”x=0에서의 미분계수“의 수식적, 기하적 의미는 그림과 같습니다.
(0,0)과 (h, f(h))를 지나는 직선의 기울기인데, h가 0에 가까워질수록 굉장히 작아져서 이 값은 0입니다.
도함수의 극한의 수식적, 기하적 의미는 그림과 같습니다.
제가 처음에 잘못 설명드렸네요.. 죄송합니다.
미분계수가 존재하지 않고 도함수(기울기)의 극한이 존재하는 함수 : 가능. 대표적으로 불연속 함수
미분계수는 존재하고 도함수(기울기)의 극한이 존재하지 않는 함수 : 가능. 다만 다항함수로 만드는건 어려움.
미분계수가 존재하고 도함수(기울기)의 극한이 존재하는 함수 : 이때는 둘이 같습니다. 즉, 일반적인 함수입니다.
즉 미분가능하면서 도함수의 극한이 존재한다면, 미분계수와 기울기의 극한은 같습니다.
아마 이게 다항함수 뿐 아닌 다른 함수에서도 적용되는지를 물어보신 것 같은데, 제가 처음에 이해를 잘못했습니다;
이 명제를 활용하면 미분계수와 도함수의 극한 중 쉬운 것을 계산하여 다른 것을 구할 수 있습니다.
(명제 증명은 그림 참고)
다만 기울기가 진동하여 도함수의 극한이 존재하지 않을 때도 있으므로, 모든 도함수가 연속은 아닙니다.
이해한 것을 정리하면
위의 사례에서 보았을때 0에서 미분계수는 0인데 반해 도함수 값은 수렴하지 않으므로 미분계수와 도함수 값은 엄밀히 보면 다른 개념임.
그래서 미분 가능하고, 동시에 도함수의 극한이 존재하는 경우에만 기울기의 극한과 미분계수가 같다고 볼 수 있음
이렇게가 맞나요? 너무 상세히 정리해주셨네요 감사합니다!
넵넵 맞아요! 그리고 문제 풀이적 관점에서 접근하면, 다음 정도로 정리하면 될 것 같아요.
1. 미분계수와 도함수 극한은 어느 한쪽만 구해도 되겠구나
(보통 복잡하게 정의된 함수에선 후자가 구하기 편해서 후자로 많이 구합니다.)
2. 대신 도함수 극한이 안 구해지면 미분계수의 정의로 계산해보자.