함수의 직교성이 무엇인가

Question

아까 글 설명을 좀 대충한 감이 있어서 적는데

두 벡터 a, b의 내적의 결과가 클수록 두 벡터는 비슷하고 결과가 0에 가깝게 작아질수록 두 벡터는 연관성이 없다는 결론이 나오는데 왜 그런거냐면

일단 내적의 정의는

a = <a1, a,2,...an>이고 b = <b1,b2,...,bn>이라고 하면

a•b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn

이렇게 정의 됨

그리고 제이코사인법칙에 의해 두 벡터u,v의 내적

u•v는 다음과 같음을 이끌어낼 수 있음

u•v = |u||v|cosθ, 여기서 θ는 두 벡터가 이루는 각도임

따라서 두 벡터가 완전히 같은 방향을 바라보고 있으면

cos가 1이 돼서 최댓값인 |u||v|가 되고

두 벡터가 수직을 이루고 있으면 cos=0이 돼서 결과는 0이 됨.

그리고 두 각도 사이에선 연속적으로 감소하므로

결국 내적의 결과는 두 벡터의 연관성을 나타내는 지표로 이용할 수 있는 것

근데 함수의 직교성은 뭐냐 하면

f(x) = x

g(x) = cosx 라고 하고, 정의역을 둘 다 [-π, π]라고 하면

f(x)는 -3.14부터 시작해서

-3.13, -3.12, ... 0, 0.1, ...,3.14

이렇게 무수히 많은 숫자로 구성되어 있을 것이고

g(x)는 cos(-π)=-1부터 시작해서

-0.99,-0.98,...0.99, 1, ...-0.99, -1 이런식으로 구성되어 있을 것임.

2차원 벡터가 <1, 5> 이런식이고

3차원 벡터가 <0,-2,3> 이런식이듯이

n차원 벡터는 <a1, a2, a3, ..., an> 이런 식이고

위의 함수들도 x구간을 일정하게 나눠서 f,g의 함숫값 갯수만 동일한 양으로 구성한다면

위의 f는 <-3.14, -3.13, ...., 3.14> 처럼 생긴 무한차원 벡터인 셈이고

마찬가지로 g도 <-0.99,-0.98,...0.99, 1, ...-0.99, -1> 처럼 생긴 무한차원 벡터인 셈임.

아까 두 벡터의 연관성은 내적으로 알아낼 수 있다고 했는데

이 함수들도 무한차원 벡터인 셈이니 내적해서 연관성을 따질 수 있는 그런 셈

근데 2차원 3차원 벡터와 달리 이 함수들은 무한차원이니까 원소들을 각각 곱해서 더하는 과정을 생각하기 힘듬.

그리고 이를 해결해주는게 적분

$XGludF97LVxwaX1ee8QGIHhcY2RvdCBcY29zKHgpIGR4$

적분의 정의상 x, cosx 두 함수를 똑같은 갯수로 구간을 나눈셈이 돼서 갯수도 동일하게 맞출 수 있고

합을 나타내는 식이라는 점에서 내적의 역할을 훌륭하게 수행하게 됨.

물론 dx라는 추가적인게 곱해져있긴 하지만, 이게 부호에는 영향을 안주니 신경 안써도 된다는건 덤

그리고 위 적분을 수행해보면 0이 나오는걸 알 수 있는데

따라서 x와 cos(x)는 선형독립이라는 것

즉, x를 아무리 지지고 볶아도(단, 선형결합만 허용) cos(x)를 만들어낼 수 없고

반대로 cos(x)를 아무리 지지고 볶아도 x를 만들어낼 수 없음

독립인 두 벡터 <2, 0>과 <0,-1>이 주어져 있을 때

<2, 0>을 아무리 지지고볶아도 <0, -1>은 못만들어내는 것과 같은 느낌임.

실제로 cos(x)를 테일러 전개해보면 다음과 같은데

$XGNvcyB4ID0gIDEgLSBcZGZyYWN7MX17Mn14XjIgK8wSNH14XjTNJTcyMH14XjbEJ2Nkb3Rz$

보다시피 cosx를 구성하는 요소로

상수항, 2차항, 4차항, ...등등 무한히 많은데

x를 선형결합해서 만들 수 있는 범위는

Ax + B 꼴이 유일하므로 독립임을 알 수 있는 대목임

호랑이는고양이 · Accepted Answer

아래내용은 미적분공부하면 알수있음?

함수의 직교성이 무엇인가

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