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Cantata [348885] · MS 2010 · 쪽지

2023-12-02 18:44:37
조회수 17,008

디테일한 선택미적분 등급컷 분석

게시글 주소: https://orbi.kr/00065518511

본론으로 들어가기에 앞서 다음 퀴즈를 풀어보세요!



두 남자 칸타타와 티오피가 있습니다.


칸타타는 티오피보다 9개월 일찍 태어났습니다.


이때 칸타타와 티오피는 동갑일까요?



정답은 '알 수 없다'겠죠. 


칸타타의 생일이 언제인지가 변수입니다.


만약 칸타타가 1~3월에 태어났다면 티오피는 10~12월에 태어났을 것이므로


둘은 동갑일 것이고,


만약 칸타타가 4~12월에 태어났다면 티오피는 그 다음해에 태어났을 것이므로


칸타타가 티오피보다 형이 될 것입니다.


이렇게 '칸타타가 티오피보다 9개월 일찍 태어났다.'라는 정보만으로는


이 둘이 동갑인지의 여부를 알 수 없는데,


대신 그 확률은 생각해볼 수 있습니다.


칸타타의 생일에 대한 별다른 정보가 없으면


칸타타의 생일이 1~12월 중에서 1~3월일 확률은 3/12=25%입니다.


따라서 칸타타와 티오피가 동갑일 확률은 25%이고,


칸타타가 티오피보다 형일 확률은 75%가 되겠습니다.



방금 설명드린 것이 표점증발의 원리입니다.


사람의 나이는 자연수이고,


12월에서 1월로 넘어가는 순간 한 살씩 카운트 됩니다.


몇 달 더 오래 살았어도 같은 해에 태어났으면 동갑으로 칩니다.


여기서 동갑=표점증발에 대응되는데요.


성적표에 표기되는 표준점수 역시 자연수이지만,


실제로는 소수점까지 계산되어 있습니다.


그리고 실제 표준점수를 소수 첫째자리에서 반올림하는데, (즉, 기준이 소수점 0.5가 되겠죠.)


그 과정에서 서로 다른 두 표준점수에 대하여 하나는 올리고 나머지 하나는 내리면서


성적표에는 동일한 표준점수가 표시되는 경우가 있습니다.


가령 어떤 시험에서 원점수 80점의 실제 표준점수가 125.52,


81점의 실제 표준점수가 126.45라면


(여기서는 공통과목/선택과목의 득점에 따른 유불리는 생각하지 않고, 원점수 하나에 표준점수가 그대로 대응된다고 가정해봅시다.)


성적표에는 모두 126점으로 표기됩니다.


엄연히 다른 점수인데 마치 동점인 것처럼 취급되는 것이라서,


이 경우 80점은 개꿀이죠.


이와 같이 80-81점에서 표점증발이 일어날 것을 예측할 수 있을까요?


이는 앞서 칸타타와 티오피가 동갑인지의 여부를 생각하는 것과 같습니다.


동갑인 경우는 표점증발이 일어나는 경우에, 


동갑이 아닌 경우는 표점증발이 일어나지 않는 경우에 대응되죠.


따라서 80-81점에서 표점증발이 일어날 지의 여부는 알 수 없고,


확률로서만 생각할 수 있습니다.


그런데 앞서 칸타타와 티오피의 출생간격이 9개월이라 하였는데,


만약 10개월, 11개월로 늘어난다면 이 둘이 동갑일 확률이 점점 줄어들 것입니다.


마찬가지로 80점과 81점의 실제 표준점수의 차이가 증가할수록


(=연속한 두 원점수 사이의 실제 표준점수의 차이가 증가할수록)


80-81점에서 표점증발이 일어날 확률도 감소하죠.


이때 수학영역에서 연속한 두 원점수 사이의 실제 표준점수의 차이는 


20/표준편차


로 계산할 수 있습니다.


만약 표준편차가 22라면 원점수가 1점 증가할 때마다 표준점수가 20/22점씩 증가하겠죠.


따라서 80-81점에서 표점증발이 일어날 확률은 1-20/22=약 9.1%이고,


표점증발이 일어나지 않을 확률은 20/22=약 90.9%입니다.


22수능과 23수능 수학에서 표준편차는 대략 24를 전후로 형성되고 있습니다.


저는 24수능의 예상표준편차를 24.4로 설정하였는데,


만약 실제로 표준편차가 이정도라면


80-81점에서 표점증발이 일어날 확률은 1-20/24.4=약 18%이고,


표점증발이 일어나지 않을 확률은 20/24.4=약 82%가 되겠습니다.


이때 백분위와 등급은 원점수가 아니라 표준점수에 대응됩니다.


따라서 만약 81점에서 4%를 초과하기 시작했는데 80-81에서 표점증발이 일어났다면


80점도 81점과 동점으로 취급되어 1등급 커트라인이 80점이 되는 것이죠.


이와 같이 내 원점수에서 표점증발이 일어나서 이득을 볼 확률과 손해를 볼 확률이 모두 공존하므로


(예를 들어 내가 80점이라면 80-81에서 표점증발이 일어나는 경우 이득, 79-80에서 일어나는 경우 손해일 것입니다.)


그 확률까지 모두 고려해야 합니다.



이에 앞서 공통과목/선택과목의 득점에 따른 유불리를 고려한 분포를 먼저 생각해봅시다.


보통은 같은 원점수일 때 공통과목의 득점이 높을수록 표준점수가 유리했는데,


24수능 미적분에서는 반대로 선택과목의 득점이 높을수록 유리할 것으로 예상된다고 말씀드렸었습니다.


그렇다면 얼만큼 유리해질까요?


산출공식이 있긴 하지만 자세히 설명하려면 가독성이 좋지 않은 관계로...


결론만 말씀드리면 원점수 1점당 유불리가 0.1점 안팎인 경우가 많고,


지난 4월 모의고사의 미적분의 경우 이례적으로 0.3점까지 치솟았습니다.


예를 들어 공통 -12점, 선택 -4점의 실제표준점수가 130.3점이었다면


공통 -16점의 실제 표준점수는 통상적으로 4×0.1=0.4점의 유불리가 발생하여 


129.9점 또는 130.7점이 되는 것입니다.


그러나 지난 4월 모의고사의 미적분에서와 같은 경우에는 4×0.3=1.2점의 유불리가 발생하여


129.1점 또는 131.5점이 되는 것이죠.


성적표에는 반올림까지 되어서


같은 원점수여도 미적분 한 문제 차이로 129점 또는 130점 또는 132점으로 표기되니 


엄청난 차이라 할 수 있습니다.


그렇다면 이번 수능에는 어느정도의 유불리가 있을까? 생각해보았을 때


통상적인 0.1점보다는 높을 것 같지만


지난 4월 모의고사의 0.3점은 너무 이례적인 경우라서


저는 0.2점정도로 잡았습니다.


즉, 같은 원점수일 때 선택 미적분에서 한 문제를 더 맞힐 때마다


실제 표준점수는 0.6점(+3점인 경우) 또는 0.8점(+4점인 경우)


가 상승합니다.


이때 각 원점수마다 미적분의 득점을 조사하였을 때


가장 대중적인 득점을 생각해볼 수 있을텐데요.


가령 원점수 92점인 분들은 공통 -4(70점), 미적분 -4점(22점)인 케이스가 가장 많이 보입니다.


이를 각 원점수마다 파악하여 그 미적분의 득점을 기준으로 삼는 것입니다.


앞서 예시로 들었던 92점의 경우 공통 70점, 미적분 22점이 기준이 되는 것이죠.


아래 표에서 


1행~8행은 공통과목의 득점을 만점부터 내림차순으로,


1열~8열은 선택 미적분 과목의 득점을 같은 방법으로 나타낸 것입니다.


이때 24수능 공통과목에서 80% 이상 득점하였다면 3점을 3개 이상 틀리는 경우는 잘 없으므로


59점 이상이면서 3점을 최대 2개까지만 틀릴 때 가능한 조합을 모두 적었고,


마찬가지로 24수능 선택 미적분 과목에서 11점 이상이라면 3점을 2개 이상 틀리는 경우는 잘 없으므로


11점 이상이면서 3점을 최대 1개까지만 틀릴 때 가능한 조합을 모두 적었습니다.


그 결과 원점수 70점 이상의 대중적인 공통과목, 선택과목 득점 조합 64가지를 한 눈에 확인할 수 있습니다.







여기서 빨간색으로 표시된 계단모양의 원점수에 대응하는 공통과목과 선택과목 실점은


각 원점수에서 가장 대중적이라서 기준이 되는 조합입니다.


앞서 예시로 들었던 원점수 92점의 공통 70점, 미적분 22점에 해당하는 칸도 빨간색으로 칠해져있죠.


하나 더 읽어보자면, 원점수 81점의 경우 공통 66점, 미적분 15점이 가장 대중적이라고 판단하여


81점을 대표하여 기준이 됨을 빨간색으로 표시한 것입니다.


이때 기준은 그대로 두고 나머지 원점수들을 보정할 것인데요.


기준으로부터 오른쪽으로 한 칸씩 갈 때마다 선택 미적분 원점수가 1점 또는 3점씩 감소하는데,


그 감소한 점수에 1.2를 곱한 후 기준점수에서 빼줍니다.


예를 들어 앞서 살펴보았던 기준 81점(공통 66점, 미적분 15점)에서 오른쪽 1칸을 이동하면


미적분 14점을 득점한 80점이 나오는데,


여기서 미적분 14점은 15점으로부터 1점 감소한 것이므로 81점에서 1.2점을 빼서 79.8점을 적습니다.


그리고 오른쪽으로 한 칸 더 가면 미적분 11점을 득점한 77점이 나오는데,


여기서 11점은 14점으로부터 3점 감소한 것이므로 79.8점에서 3×1.2=3.6점을 빼서 76.2점을 적습니다.


기준으로부터 왼쪽으로 이동하는 경우도 마찬가지입니다.


이때에는 한 칸씩 갈 때마다 선택 미적분 원점수가 1점 또는 3점씩 증가하는데,


그 증가한 점수에 1.2를 곱한 후 기준점수에서 더해줍니다.


이런식으로 기준이 아닌 원점수들을 보정하여 나타내면 다음과 같습니다.







그리고 이 보정된 원점수들을 


이전 글에서 산출한 원점수-백분위-표준점수-등급 표에 대응시킬 것입니다.





그런데 이 표에는 보정된 원점수가 모두 자연수입니다.


그렇다면 보정된 원점수들 중에서 소수점까지 있는 경우는 어떻게 처리하면 될까요?


물론 반올림하는 것이 자연스럽긴 하지만,


어디까지나 점수들은 변수입니다.


따라서 앞서 칸타타와 티오피가 동갑인지 따질 때처럼 확률로 생각해야 하므로


다음과 같이 처리합니다.



자연수 N과 0<p<1인 실수 p에 대하여


N+p=N점(1-p의 확률) 또는 N+1점(p의 확률)에 대응됨.



예를 들어 보정된 원점수가 85.2점인 경우


이것이 85점에 대응될 확률이 80%, 


86점으로 올라가서 대응될 확률이 20%입니다.


따라서 웬만하면 85점에 대응될 것이므로 위의 표에서


백분위 98, 표준점수 135, 1등급


에 대응시켰습니다. 


이와 같이 보정된 원점수의 소수점이 0.2 또는 0.8인 경우는 80%의 확률로 대응되므로


모두 확률이 높은 쪽으로 대응시켰습니다.


그러나 보정된 원점수가 가령 84.6점인 경우


이것이 84점에 대응될 확률이 40%, 


85점으로 올라가서 대응될 확률이 60%로서 


85점에 대응될 확률이 더 높긴 하지만 조금 애매합니다.


이와 같이 보정된 원점수의 소수점이 0.4 또는 0.6인 경우는 


대응될 수 있는 두 원점수에 대한 표준점수와 백분위를 모두 표시하였습니다.


가령 보정된 원점수 84.6점의 경우


백분위 97, 표준점수 134, 1등급


또는


백분위 98, 표준점수 135, 1등급


에 모두 대응하여 표시하였습니다.


이를 표로 정리하면 다음과 같습니다.




1. 표준점수와의 대응





2. 백분위와의 대응





3. 등급과의 대응





이로부터 산출된 선택 미적분의 1등급 커트라인은 다음과 같습니다.



1) 선택 미적분 18점 이상 80점(보정 원점수 80.8로서 확률 80%)


2) 선택 미적분 15점 이상 81점


3) 선택 미적분 12점 이상 82점(보정 원점수 80.6으로서 확률 60%)



이때 79점 이하는 사실상 2등급, 84점 이상은 사실상 1등급.




2등급 커트라인은 다음과 같습니다.


1) 선택 미적분 14점 이상 73점(보정 원점수 73.6으로서 확률 60%)


2) 선택 미적분 12점 이상 74점





아직 끝이 아닙니다.


지금까지의 등급컷 추정에는 '표점증발'이 반영되어있지 않습니다.


이는 확률과 통계, 기하까지 합쳐서 다음편에 이어가겠습니다. (마지막편입니다.)

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