적분이 되는것과 안되는것
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미분 가능성이라는 단어는 굉장히 많이 들어보셨을 겁니다. 당연히 어떤 함수가 점에서 연속이고, 좌미분계수와 우미분계수가 같을때 우리는 어떤 점에서 미분가능하다고 합니다. 그럼 적분 가능성이라는 것은 없을까요?
그랴서 이번에는 적분 가능성(?) 이라는 것에 대해 알아보려고 합니다
적분가능성은 리만(스틸체스) 적분에서의 적분 가능하다와 measure 차원에서의 적분 가능하다가 있겟지만 고닥교 과정에 맞게 리만 적분에서의 적분 가능성을 다뤄보고자 합니다
여러분은 적분을 어떻게 정의하는지 아시나요? 바로 전 교과과정에는 있었지마 지금은 사라진 구분구적법이라는 방법이 있을 겁니다. 한마디로 가로를 정말 작게 작게 만든 미소 직사각형으로 함수의 그래프와 축 사이의 넓이를 근사하는 방법으로 적분을 정의했음을 알 수 있지요
아래 그림을 봐볼까요
그림은
의 그래프와 x축으로 둘러싸인 넓이를 구하는 과정입니다. 보통 우리가 직사각형을 만들때 가로의 길이는
로 세로의 길이는 함숫값으로 보통 만든다는 것을 알고 있습니다
(이게 가능한 것은 우선 함수가 연속이고, 구간의 길이가 1/n으로 만들면 그 구간에서의 최대 최소는 각각 구간의 끝점이 되게 구간을 만들 수 있기 때문입니다.) 아마 얘네 둘로 세로의 길이를 정하고 이를 토대로 직사각형을 만들어서 넓이의 근삿값을 때리는 겁니다. 그래서
와
의 값이 일치할때 걔를 적분값으로 정의하고 그리고 그 값을
이라 정의합니다. 얘는 쉽게 알 수 있듯이
임을 알 수 있습니다. 그럼 여기서 의문점이 하나 들죠. 만약 위에 주어진 두 극한값이 다른 함수가 존재할까? 만약 존재한다면 걔한테서 적분은 어떻게 정의하지? 라는 의문이 들겁니다.
예시를 하나 들어봅시다. 굉장히 유명한 함수인 디리클레 함수를 가져와보죠. 
얘라는 함수가 주어져있다고 생각을 해보죠. 얘는 단순히 보면 모든 점에서 불연속 같지만 사실 유리수 점에서만 불연속 입니드. 극한의 보다 엄밀한 증명인 입실론 델타 논법을 아신다면 보다 쉽게 이해하실수 있을겁니다. 그럼 생각해보죠. 우리가 지금까지 적분을 정의해왔던것처럼 구간의 길이를 1/n으로 만들어서 한 번 적용해볼까요?
차근차근 한 번 해보죠
에서의 최댓값은 1이고 최솟값은 0일거에요. 즉
얘네에 대응되는 값이 각각 1 또는 0 밖에 없다는 것이지요.
그럼
의 값은 1이 될거고
의 값은 0이 될거에요. 그럼 극한값이 존재하지 않으므로
이라는 값이 존재하지 않겟지요. 그런데 얘는 조금 다른 적분(?) 어쨋든 저번에 소개해드린 가로로(?) 적분하는 법을 적용해보면 적분이 된답니다! 그 값이 뭔지는 여러분께 맡기지요
부대 복귀하면서 지하철에서 심심해서 쓰는거라 발퀄인점 ㅈㅅ합니다
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46 아니겠죠 제발 45 제발...
아이고 ㅠㅜㅜ
세특에 쓸만한걸 써보고있는데 잘 모르겟네욤
막줄이 너무 슬퍼요아 ㅋㅋㅋㅋ