삼차함수 정적분 공식 (feat. 24수능 12번 계산줄이기)

Question

아시는 분은 대부분 아시는 내용이겠지만 6평때 엄청 핫했던 걸로 기억하는데

이번 수능에서는 12번 계산이 엄청 더럽다라는 이야기만 많고

적용해서 풀이해주신분이 안보여서(계실텐데 제가 못찾았겠지만요) 글 하나 작성합니다.

삼차함수 f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) 에 대해서 (a,b,c가 모두 다른 실수일 필요없고, a,b,c의 대소관계에 무관하게)

a에서 b까지 f(x)의 정적분값을 "비교적 쉽게" 계산할 수 있는 정적분공식이 있습니다.

이는 삼차함수의 점대칭성을 이용하는 방법이고

위의 삼차함수꼴을 점 ((a+b)/2,0)에 대해 점대칭인 삼차함수 와 이차함수의 합으로 변형하는 게 주요 원리입니다.

$XGludCBfe2F9XntifSBmKHgpIGR4ClxcPSDOGmsoeC1hKSh4LWLEBWPIJsUl2CZ7YStiIFxvdmVyIDJ9K80O30LVQikrzB3fT99PxE9keCvOLt9f$

(수식이 가운데정렬이 되는데 수정하는 방법을 몰라 그대로 쓰겠습니다.)

이렇게 식을 변형할 수 있는데요.

이 중 왼쪽의 정적분의 피적분함수인 삼차함수는 점( (a+b)/2 ,0) 에 대해 점대칭인 함수이고 적분구간이

대칭구간이므로 정적분값은 0입니다.

따라서 f(x)의 정적분값은 오른쪽의 이차함수의 정적분 값과 같고

이는 잘 알려진 이차함수의 넓이공식을 통해 구해낼 수 있습니다.

$XGludCBfe2F9XntifSBmKHgpZHggClxcPcUZyRprKHgtYSkoeC1iKSh7YStiIFxvdmVyIDJ9LWMpIGR4xDFr0RnOQ8pCxzEt0jIgeyhiLWEpXjPHFTZ9$

사실 정적분 값이기에 부호도 유의미하지만, 넓이의 부호를 잘 알수 있는 경우라면

절댓값만 기억하셔도 꽤 유용하겠죠.

직관적으로 공식을 기억하는 방법을 설명드리자면

(정적분구간의 윗끝과 아랫끝의 평균과, 정적분구간이 아닌 x절편의 차) * 이차함수 넓이공식 입니다.

또한 여러분이 잘 알고 계시는 한점이 접점일때의 공식도 같은 방법으로 유도가 가능합니다.

f(x)=(x-a)(x-b)^2 = (x-a)(x-b)(x-b) 이므로

a부터 b까지 정적분공식은 a,b의 평균값에서 나머지근 b를 빼면 (a-b)/2 가 되고

여기에 이차함수의 정적분공식 - (b-a)^3/6 을 곱해주면

(b-a)^4/12 가 완성됩니다.

간단하게 연습해보겠습니다.

1) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 3까지 f(x)의 정적분값

머릿속으로 간단하게 개형을 그려봅니다.

1부터3까지 구간은 f(x)가 x축 위로 올라간 부분이겠죠. 그럼 결과값이 양수일테니 부호는 신경쓰지말고

절댓값만으로 생각해보겠습니다.

1과 3의 평균 2와 나머지근 9와의 차이 7

이차함수 넓이공식 2^3/6= 4/3 의곱 28/3

2) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 9까지 f(x)의 정적분값

위에서 그린 개형을 생각해보면 근의 간격 덕분에 (함수값이 음수인 간격이 더 넓으니)

정적분값이 음수겠네요.

1과 9의 평균 5 나머지근3과의 차이 2

이차함수 넓이공식 8^3/6=256/3 이므로 정적분값은 -512/3

실전문제에 적용해봅시다.

다음 문제는 6월모의고사 10번 문항입니다.

문제에서 제시된 (A의 넓이)-(B의 넓이)라는 조건이

0부터 3까지 f(x)의 정적분값을 의미합니다.

0과2의 간격이 2와3의 간격보다 넓으니 정적분값은 양수일테고요.

0과 3의 평균인 3/2 와 나머지근 2와의 간격 1/2 에다가

이차함수 넓이공식 27/6 그리고 삼차항계수 k를 곱해주면 3이나온다.

이제 k의 값을 구하는 건 일차방정식..

진짜 본론으로 들어가서

올해 수능 12번 문제이고 당일날 풀이를 캡쳐한 것입니다.

(https://orbi.kr/00065167234 여기에 전문항(기하제외) 손풀이가 있습니다.)

넓이가 최대이려면 기울기가 -1인 접선의 접점중 x좌표가 0과 6사이에 있는 점의 x좌표가 t인것의 해석은 당연하고

t=3을 찾는 과정은 생략하겠습니다.(실제 넓이를 구하는 과정의 숏컷이 본 내용인지라..)

(저는 간격곱을 이용했습니다. 궁금하시면 댓글 달아주세요)

구하는 부분의 넓이를 다음과 같이 해석할 수 있습니다.

원점과 (3,6)을 지나는 직선 y=2x 가 f(x)와 만나는 점 중 원점과 (3,6)이 아닌 점의 x좌표는 12입니다.

(f(x)=0의 세 근의 합이 15 이기 때문에 0+3+12=15)

따라서 (y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) + ((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)

가 구하는 값이 되겠습니다.

f(x)-2x=1/9 * x(x-3)(x-12) 이므로 삼차함수 정적분 공식을 사용해보면

(y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) = 1/9 * 12/2 * (27/6) = 21/4

((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)= 1/2 * 9*6=27

이므로 답은 129/4 임을 알 수 있습니다.

위의 설명이 부족하실까봐 부연설명 그림하나 첨부하며 글을 마치겠습니다.

책참 · Accepted Answer

고2 내신 대비할 때 처음 배우고 여태까지 낭낭히 쓰고 있는 공식인데 생각보다 많이들 안 쓰시는 것 같기도 하고,, 좋은 글 감사드립니다

무개tv · Answer

https://youtu.be/OMiJ0DlWoUo

해당 문항 영상링크도 공유합니다.

뽀로로의설컴모험 · Answer

간격곱이 뭔지 혹시 알 수 있을까요? 검색해도 잘 안나와서,,

복면왕 · Answer

지리네요 ㄷㄷ

삼차함수 정적분 공식 (feat. 24수능 12번 계산줄이기)

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