삼차함수 정적분 공식 (feat. 24수능 12번 계산줄이기)
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아시는 분은 대부분 아시는 내용이겠지만 6평때 엄청 핫했던 걸로 기억하는데
이번 수능에서는 12번 계산이 엄청 더럽다라는 이야기만 많고
적용해서 풀이해주신분이 안보여서(계실텐데 제가 못찾았겠지만요) 글 하나 작성합니다.
삼차함수 f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) 에 대해서 (a,b,c가 모두 다른 실수일 필요없고, a,b,c의 대소관계에 무관하게)
a에서 b까지 f(x)의 정적분값을 "비교적 쉽게" 계산할 수 있는 정적분공식이 있습니다.
이는 삼차함수의 점대칭성을 이용하는 방법이고
위의 삼차함수꼴을 점 ((a+b)/2,0)에 대해 점대칭인 삼차함수 와 이차함수의 합으로 변형하는 게 주요 원리입니다.
(수식이 가운데정렬이 되는데 수정하는 방법을 몰라 그대로 쓰겠습니다.)
이렇게 식을 변형할 수 있는데요.
이 중 왼쪽의 정적분의 피적분함수인 삼차함수는 점( (a+b)/2 ,0) 에 대해 점대칭인 함수이고 적분구간이
대칭구간이므로 정적분값은 0입니다.
따라서 f(x)의 정적분값은 오른쪽의 이차함수의 정적분 값과 같고
이는 잘 알려진 이차함수의 넓이공식을 통해 구해낼 수 있습니다.
사실 정적분 값이기에 부호도 유의미하지만, 넓이의 부호를 잘 알수 있는 경우라면
절댓값만 기억하셔도 꽤 유용하겠죠.
직관적으로 공식을 기억하는 방법을 설명드리자면
(정적분구간의 윗끝과 아랫끝의 평균과, 정적분구간이 아닌 x절편의 차) * 이차함수 넓이공식 입니다.
또한 여러분이 잘 알고 계시는 한점이 접점일때의 공식도 같은 방법으로 유도가 가능합니다.
f(x)=(x-a)(x-b)^2 = (x-a)(x-b)(x-b) 이므로
a부터 b까지 정적분공식은 a,b의 평균값에서 나머지근 b를 빼면 (a-b)/2 가 되고
여기에 이차함수의 정적분공식 - (b-a)^3/6 을 곱해주면
(b-a)^4/12 가 완성됩니다.
간단하게 연습해보겠습니다.
1) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 3까지 f(x)의 정적분값
머릿속으로 간단하게 개형을 그려봅니다.
1부터3까지 구간은 f(x)가 x축 위로 올라간 부분이겠죠. 그럼 결과값이 양수일테니 부호는 신경쓰지말고
절댓값만으로 생각해보겠습니다.
1과 3의 평균 2와 나머지근 9와의 차이 7
이차함수 넓이공식 2^3/6= 4/3 의곱 28/3
2) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 9까지 f(x)의 정적분값
위에서 그린 개형을 생각해보면 근의 간격 덕분에 (함수값이 음수인 간격이 더 넓으니)
정적분값이 음수겠네요.
1과 9의 평균 5 나머지근3과의 차이 2
이차함수 넓이공식 8^3/6=256/3 이므로 정적분값은 -512/3
실전문제에 적용해봅시다.
다음 문제는 6월모의고사 10번 문항입니다.
문제에서 제시된 (A의 넓이)-(B의 넓이)라는 조건이
0부터 3까지 f(x)의 정적분값을 의미합니다.
0과2의 간격이 2와3의 간격보다 넓으니 정적분값은 양수일테고요.
0과 3의 평균인 3/2 와 나머지근 2와의 간격 1/2 에다가
이차함수 넓이공식 27/6 그리고 삼차항계수 k를 곱해주면 3이나온다.
이제 k의 값을 구하는 건 일차방정식..
진짜 본론으로 들어가서
올해 수능 12번 문제이고 당일날 풀이를 캡쳐한 것입니다.
(https://orbi.kr/00065167234 여기에 전문항(기하제외) 손풀이가 있습니다.)
넓이가 최대이려면 기울기가 -1인 접선의 접점중 x좌표가 0과 6사이에 있는 점의 x좌표가 t인것의 해석은 당연하고
t=3을 찾는 과정은 생략하겠습니다.(실제 넓이를 구하는 과정의 숏컷이 본 내용인지라..)
(저는 간격곱을 이용했습니다. 궁금하시면 댓글 달아주세요)
구하는 부분의 넓이를 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
원점과 (3,6)을 지나는 직선 y=2x 가 f(x)와 만나는 점 중 원점과 (3,6)이 아닌 점의 x좌표는 12입니다.
(f(x)=0의 세 근의 합이 15 이기 때문에 0+3+12=15)
따라서 (y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) + ((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)
가 구하는 값이 되겠습니다.
f(x)-2x=1/9 * x(x-3)(x-12) 이므로 삼차함수 정적분 공식을 사용해보면
(y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) = 1/9 * 12/2 * (27/6) = 21/4
((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)= 1/2 * 9*6=27
이므로 답은 129/4 임을 알 수 있습니다.
위의 설명이 부족하실까봐 부연설명 그림하나 첨부하며 글을 마치겠습니다.
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고2 내신 대비할 때 처음 배우고 여태까지 낭낭히 쓰고 있는 공식인데 생각보다 많이들 안 쓰시는 것 같기도 하고,, 좋은 글 감사드립니다
https://youtu.be/OMiJ0DlWoUo
해당 문항 영상링크도 공유합니다.
간격곱이 뭔지 혹시 알 수 있을까요? 검색해도 잘 안나와서,,
아 저는 예전부터 간격곱이라고 칭하고 부르는데, 최근에 "거리곱"으로 더 잘 알려져 있더라고요.
거리곱으로 검색하셔도 좋고요.
제 모고풀이영상중에 간단히 소개한 내용이 필요하시면 링크 드릴게요.
https://youtu.be/xqDjF8ejdqg
이 링크에서 8번문항 보시면 됩니다.
https://orbi.kr/00064393153
여기에도 수학문만중수 님이 올려주신 간격곱 적용 기출문항이 있어요