이 질문을 해결해주십시오 ㅠㅠ
게시글 주소: https://orbi.kr/0006519293
여러 분께 여러 차례 여쭈어 가장가장 그나마 이해에 근접했는데요... 아직도 헷갈립니다 ㅠㅠ
(참, 아래에 나온 제 이해 방식은 제 자작은 아니고 고3때 은사님의 도움... 아 그쌤 진짜 좋으셨는데 ㅠㅠ)
첨부된 파일이 질문인데.. 답해주실 수 있을까요 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
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허근을 그래프에 나타낼수 있나요?
4차함수에서 한 중근과 한 실근과 한 허근 가지는 경우가 '적어도 x점과 만나는 점의 개수는' 이중근 두 개 있는 경우와 똑같아서요 ㅠㅠ
그래표를 그릴때 허근은 그리는거아니에요 고려도안하니다
쉽게생각해서 y = x^2 + 4를 생각하세요 이 함수도 허근이 있지만 그래프와 상관없습니다
좌표평면은 실수 x, y를 나타낸 그래프에요
위에 적은대로 4차함수에서 한 중근과 한 실근과 한 허근 가지는 경우가 '적어도 x점과 만나는 점의 개수는' 이중근 두 개 있는 경우와 똑같아서요 ㅠㅠ
그렇다면 위와 같이 생각하면 어떤 것은 이중근 두 개고 어떤 것은 한 중근 한 실근 한 허근인지 구분할 수 없다는 생각이 들어서요... ㅠㅠ
4차함수가 중근1개 허근1개 실근 1개를 가지는경우는 없습니다
아 그러네요... 뭘 본 거지..
디게 이상한걸 고민하시는듯 ㅠㅠ
모든다항식 n차식이 (x-a)의 모양이n개 곱해졌다는건 누구한테 들은거에요..?
중3 겨울방학 때 공부하다가 헷갈려서 이렇게 생각해도 되냐고 하니까 수학 교수이신 삼촌께서 걍 그렇게 생각해라 하시길래 오 그렇게 생각하면 간편하다 싶어서 걍 여태 그렇게 생각해왔어요 ㅠㅠ
그림 3의 아래 그래프같은경우도 무조건 사중근을 갖는다고 하지않아요
f(x) = (x-a)^2(x^+2x+4)라고 하면 함수 f(x)는 실근2개와 허근2개를 갖는다고 표현하거나
중근하나와 허근 2개를갖는다고 표현합니다
그럼 허근 가지는지 중근 가지는지 그래프 보고 어떻게 판단 가능하죠? 판단 불가한가요? ㅠ
님 네이버채팅이나 이런거라도해주시면 자세히알려드릴게요 개답답함지금
음... 어떤 방법이있을까요 ㄷㄷ...??? 저도 감사합니다만 ㅠㅠㅠㅠ
아! 근데 생각해보니까 그냥 '접할 때'면 중근 갖는 거고, 그 외에 허근인지 아닌지 여부는 그냥 알 수 없는 건가요??? 어차피 오차함수 그리라는 말 없으니까 삼차에서 중근이고 뭐고만 알 수 있으면 되지 사차에서 뭐 허근인지 뭔지 알 건 없는 건가용?
정리
이과생인지 문과생인지는 모르겠으나 다항함수의 그래프의 개형을 추론해야하는경우
3차와 4차에 대하여 생각해보면 (1차식과 2차는 다알거라 생각하겠습니다)
일단 그래프의 개형을 찾아내는대서 근의 개수는 개형을 파악하는데 중요하지 않습니다
삼차함수의 개형은 극값2개를 갖는경우 기울기가 0인 변곡점을 갖는경우
도함수가 항상 0보다 크거나 작은 경우로 나눠서 생각하고
극값을 2개갖는경우는 두극값의 함수값이나 극값의 곱이 음양 부호로 근의 개수를 판정합니다
변곡점에서 기울기가 0이거나 항상 증거하거나 항상 감소하는 그래프는
쉽게 생각할수있을거라 생각합니다
4차함수는 개형이 조금더 다양한편인데 최고차항의 계수가 양수인 부분에대해서만 말씀드리겠습니다
무조건 그래프의 개형을 파악할땐 미분을해서 도함수의 부호로 원함수의 형태를 파악하는게
정석입니다. 근의 개수는 전혀중요하지 않습니다 근의개수가 중요한경우는
방정식 부등식에서이고 그경우는 보통 -1, 1, 2 와같이 쉬운 수로 인수분해가되고
남은 인수분해되지않는 2차식이있다면 판별식으로 판정하면됩니다
개형을 생각할땐 항상 도함수의 근을 기준으로 생각합니다
4차함수의 도함수는 3차함수이며
근을 3개가질때 1개의 중근과 다른 실근을 가질때 실근 1개를 가질때의 세가지경우이며
3개를 가질때는 일반적으로 알고잇는 극소값2개 극대값 1개를 가진 개형이고
중근1개와 실근 1개를 가진경우 중근인 부분에서 접선의 기울기는0이지만
도함수의 음양부호가바뀌지않으므로 감소상태면 계속감소 증가상태면 계속증가하며
그점은 변곡점입니다
실근 한개를가지는경우는 극소값 1개를 가지는경우이며 이때 그래프는
님이올린 그림3의 개형과 동일하거나 변곡점근처에서 약간 변하는 개형입니다
그냥 허근을 따져야하는 경우는 수능에서 중요하지 않은 부분입니다
딱히 물어볼 부분도없고 중요하지도 않아요
실생활에서 어떤의미를 갖는지는 배우지않아서 모르겠지만
수능에선 전혀 중요하지않고 평소 전혀 고려하지않아도됩니다
그냥 판별식으로 2차함수의 근의 개수만 따질수있고
극대값과 극소값사이의 평균값정리와
음,양 무한대로 그래프의 극한으로
근의 갯수만 알아내실수있으면되요
x축위에서 감소하다가 x축과 접한후 증가하면 그 다항함수는
(x-a)^2를 인수로 갖고
x축에서 감소하다가 x축과 접한후 계속해서 감소하면 그 다항함수는
(x-2)^3을 인수로 갖습니다
네..!! 맞아요 맞아요 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 지금까지 말씀하신 바는 다 할 수 있습니다!! 으으으 염려되었던 바는... 그러니까 예를 들어서 삼차함수가 있는데 극값이 두 개 있어요 근데 그게 x축과 한 점에서 접할 때 그게 삼중근인지 한 근이고 두 허근인지 도대체 그래프만 보고 어떻게 '명확하게' 확신할 수 있는지 궁금해했던 거랑..
마지막 댓글
x축위에서 감소하다가 x축과 접한후 증가하면 그 다항함수는
(x-a)^2를 인수로 갖고
x축에서 감소하다가 x축과 접한후 계속해서 감소하면 그 다항함수는
(x-2)^3을 인수로 갖습니다
이것의 이유를 모르겠어요 ㅠㅠㅠㅠㅠ
n차함수의 근은 n개입니다
f(x)는 최고차항의 계수가1인 삼차함수이며 f(n)=0이며
님이 말씀하신대로 x축에서 감소하다가 x=n일때
x축과 접한후 증가한다고 생각해봅시다
f(x) = (x-n)(x^2 + ax + b) (a,b는 실수)
x에대하여 미분하면
f`(x) = (x^2 + ax + b) + (x-n)(2x + a) 이고
x=n일때 x축과 접하므로 그점에서 도함수의 값은 0 즉 f`(n) = 0입니다
구한 함수에 n을 대입하면
f`(n) = (n^2 + an +b ) = 0이므로
x^2 + ax + b는 x=n일때 0즉 원함수
f(x) = (x-n)^2(x-b) 입니다 (단b는 n이아니다)
증명끝
(더엄밀하게하려면 b는 n이 아님을 이계도함수를 구해서 밝히거나
x=n 좌우로 도함수의 부호변화가 없음을 밝히면 됩니다)
이걸 수식이아닌 말로표현하면
이차함수 g(x) = (x-a)^2의 개형을 생각해보세요
이함수는 x=a에서 x축과 접하며 x=a는 이차함수의 중근입니다 이건이해가시나요
x=a에서 g(a) = 0이지만 (x-a)^2 는 항상 0보다 같거나큽니다
어떤 아닌 실수자신을 두번곱하면 0보다 크잖아요 자명한가요 여기까지
자 f(x)로 돌아옵시다 f(x)도 x=a에서 x축과 만나므로 (x-a)를 인수를 가집니다
근데 함수값의 음양부호가 변화가없어요 즉 x=a 좌우로 f(x)의 부호는
같다는 말입니다 만약 (x-a)^3이었다면 부호가 바뀌지요
간단하게 예를 들어볼게요
h(x) = (x-2)^2(x-4) 라 합시다
x에대하여 미분하면
h`(x) = 2(x-2)(x-4) + (x-2)^2 = (x-2)(3x-10)
x=2와 x=10/3 에서 각각 극대값과 극소값을 가집니다
h(2) = 0 입니다
즉 x=2에서 h(2)는 극대이지만 그값이 0이고 좌우로 0보다 작다는 겁니다
2보다 약간 작은수와 약간큰수로 대입해보면
전부 그부분에서 전부 h(x) < 0 임을 알수 있습니다
이개념은 절대결코 어려운 내용이아니며
중학교 1학년정도의 수준이면 충분히 이해할수있는내용입니다(미분제외)
이걸 왜 어렵게 이해하시고
도대체 어디가 이해가 안되는지모르겠는데
이해안하려고아닌지 다시생각해보세요
고민할게없는거에요 그누구도 이내용에대해 이해가안가거나
이게 왜이런데 이거냐고 하지않아요 논리적으로나
직관적으로 타당하기때문입니다
네..!! 아하 그렇군요..!! 맞습니다 ㅠㅠㅠ 음... 그러면 이제 중근이다-->접한다는 증명했는데 그 역은.... 또 어떻게 되는 거죠 ㅠㅠㅠ 아 그리고 저 문과입니다. 음... 이계도함수 등은 모르는 개념이라.. ㅠ....
근데 이게 정말 직관적으로 당연한 것이었나요..? ㅠㅠㅠ.........;;;;;;; 설명 듣고나서야 이해가 가는 것 같은데.. ㅠㅠㅠㅠ
그리고 정말 죄송하지만 마지막으로, 이미 여쭈었듯, 극값이 두 개인 삼차함수가 x축과 한 점에서 만나면 분명 그것은 실근 1개인데, 나머지 두 근이 허근인지, 아니면 삼중근인지는 그건 또 어떻게 알죠.. ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ... 보통 허근은 그래프에 나타나지 않으니까 모르는 법인데.... 정말 감사하고.. 여러 번 여쭈어 죄송합니다 ㅠㅠ
중그이면접한다 실수1개다 허근이몇개다 이렇거 다필요없어요 제바류ㅠ
이상한거에 집착하시는거같아요 쓸모없다고 몇번말씀드려요ㅠㅠ
x축에서 한점에서만나는데 나머지 두근이 허근인지 삼중근인지는
그그래프가 x축에서 접하면서 도함수의 변화가 없으면
삼중근인거고 x축과 한점에서 만나고 접하지않는다면
나머지개형은 어떠하더라도 허근두개에요;;
y=f(x) 최고차항의계수가1인 3차함수라할게요
x=t에서 f(a)=0이라하면
f(x)=(x-t)(x^2 + ax + b)와 같이 나타낼수가있고
여기서 x^2 + ax + b에 대해서 판별식을사용하여
이차식이 근을 알아내는거에요
이 이차함수가 중근을 갖고 그 중근이 t이면
삼중근인거고 중근을 갖되 t와 다른 실수이면
중근과 다른 실근1개를 갖는거고
근을 가지지않으면 실근1개와 허근2개를 갖는건데
이건 따지지않는다니까요 필요가없어요 필요가 ㅠㅠ
이런거 헤깔리시는정도면 수능까지 여유가없는데
이런쓸데없는거에 시간낭비하시고 머리쓰지마세요..
필요한거만 이해하고 받아들이세요
위에서 x축과 접하고 그래프의 증가감소가 바뀌면
(x-2)^2을 인수로 갖는다했잖아요
이건 (x-2)^2n을 가진다고 일반화할수도 있는데
이런걸 설명하면서도 제가 왜설명하는지모르겠습니다
실수 x에 대하여 x^2n 은 항상 0보다 크거나 같고
x^(2n-1) 은 x>0 이면 항상 0보다크고 x<0이면 항상 0보다작아요
예를들어 (-3)^3은 -27 (-3)^4 = 81 , (-3)^5 = -243
이해가 가시나요
근데자꾸만 분류를할라고하고 나눌라하고 그러시니 오히려 더이해가
안되시는겁니다 그냥 이해하면되요
이렇게 남한테 설명할필요도없구여
x축과 접한후에 그래프의 증감이 안변한다고생각해볼게요
삼차함수로 예를들어 y=x^3가 대표적인 함수죠
x축방향으로 a만큼 이동하면 (x-a)^3입니다 이해가시나요
이함수는 x=a에서 x축과 접하면서 만나고 모든실수에서 증가하는 함수입니다 아직도 이해안간부분이있으신가요
그래도 반수 때가 현역 때보다는 머리 꼬이는 게 덜해서 다행... ㅋㅋ;;;
걍, n차 방정식에서 x절편이 a개일 때, a개의 실근/중근과 n-a개의 허근이라고 어떻게 판단 가능하냐는 질문입니다 ㅠㅠ
그거판단하지말라구여 저 진심 짜증날라함
선의로 이해하실때까지 계속답변 자세하게
증명까지해가며 시간써가며 설명해드리는건데
필요없다는거만 자꾸물어보시고 중요한거에대해
설명한건 이해하려고 하시는거 같지가않네요
그리고 사차함수의 도함수인 삼차함수가 미분계수가 계속 커지는 형태일 때, 변곡점을 기점으로 하여 미분계수의 증가세가 변하는데, 그것이 왜 원함수인 사차함수의 개형에 영향을 안 주는지도 궁급합니다 ㅠㅠㅠ 그냥 삼차함수가 그럴 때 사차함수는 마치 이차함수 같이 매끈한 포물선이 되던데....
영향을 줍니다
아하 영향을 주지만 어차피 변곡점 대칭이니까 사차함수도 좌우대칭이 되어 매끄러운 포물선이 되는군요!!!
4차함수는 도함수인 3차함수의 변곡점 대칭이아닙니다
아뇨뇨 그 삼차함수가 미분계수가 계속해서 증가하는 삼차함수의 경우 그 변곡점이 x축에 접할 때 원함수가 이차함수같이 나오는 것을 여쭌 거에요 ㅋㅋ
님 글하나올렸으니 보세여