수학 미적분 문제 질문! (2000덕)
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극소가 되는 지점이 한개라는 의미를 수식적으로 어떻게 해결해야 할지 모르겠음…
그래프적으로 생각하면, 겉함수가 극소를 가지니, 극소를 가지는 지점에서, 속함수의 값과 한개의 근만을 가지려면,
당연히 속함수의 극점에서 만나겠다고 그래프적인 생각은 되는데,
식으로 풀려고 하니, 식들이 가지는 의미를 잘 모르겠음 ㅜㅜ
이해시켜주시는 분께 덕코나 깊티콘 드림
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미분 가능한 함수의 극대 극소는 도함수의 부호 변동으로 파악할 수 있습니다. 주어진 g 안에 합성된 x-2f(x)의 개형을 직접적으로 조사해보기가 어려우니 g의 도함수를 구해봅시다.
g'(x)=f'(x-2f(x))*(1-2f'(x))
g의 도함수 부호가 바뀌면 g는 극값을 지니는 것입니다. g가 극소가 되는 x의 개수가 1이라면 g의 도함수 부호가 -에서 +로 전환되는 순간이 1번이어야 합니다.
g'(x)를 f'(x-2f(x))와 1-2f'(x)의 곱으로 나누어 생각하면 f'(x)와 1/2를 비교하는 셈과 f'(x)=t(e^x-1)이라는 점에서 e^[x-2f(x)]와 1을 비교하는 셈이 됩니다.
다시 말해 f'(x)와 1/2의 대소 관계, x-2f(x)와 0의 대소 관계 혹은 f(x)와 x/2의 대소 관계에 따라 g가 극대를 가질지 극소를 가질지 극값을 가지지 않을지가 결정되는 것이라 생각할 수 있겠습니다.
t>0 이니 f'(x)=t(e^x-1)에서 함수 f(x)는 x<0에서 감소하다 x>0에서 증가하는 함수임을 확인 가능하고
f'(x)는 지수함수를 y축 방향으로 -1만큼 평행이동 한 후 실수배 한 것이니 단순하게 파악 가능합니다. 이후 각각 x/2와 1/2과의 대소 관계 비교하셔서 t값 결정해주시면 되겠습니다.
수식들의 의미와 풀이 방향 간략히 정리해봤습니다! 이후는 홀로 하실 수 있을 것 같아 답 내는 과정 작성하지 않았습니다, 질문이나 더 이야기 나누고 싶으신 부분 있으면 답글 바랍니다.
1-2f’(x)는 x=0에서 부호가 바뀌지 않아요!
앗그렇네요… 음… 감사합니다! 두분다 보내드릴게요
두분다 보냇어요!
식들이가지는 의미가 무슨말씀을하시는지 정확하게는 모르겠으나 도움이되셨음 좋겠네요 ㅠㅠ
하나만 더 여쭤보겠습니다. f’(x - 2f(x))에서, x - 2f(x)의 최소값이 0보다 큰 조건을 설정한 것은, (1-2f’(x))가 - 에서 +로 바뀌기 위해서는 부호의 변화가 없어야 하기 때문이죠? 음수 구간이 존재하게 되면 다른 극값을 가지게 될테니까요.
음 인과관계가 조금 잘못되었어요 1-2f'(x) 는 x-2f(x)의 값이 어찌되든간에 x=ln(1+1/2t) 에서 -에서 +로 부호변화가 생깁니다.
저희가 생각해야할건 "1-2f'(x)와 f'(x-2f(x)) 의 곱" 의 부호변화인데,
x-2f(x) 의 최소값이 0보다 큰조건을 설정한 이유는, x-2f(x)가 0보다 작아버리는경우가 존재하게되면 f'(x-2f(x))의 부호변화가 생겨요. f' 안에 들어가는 값이 0보다 작을경우에는 f'의값이 음수가 나오기 때문이죠. 이렇게되는경우 위에 제가 써놓은것처럼 "1-2f'(x)와 f'(x-2f(x)) 의 곱"의 부호가
음 -> 양 -> 음 -> 양 이렇게 되버려서 극소,극대,극소 를 갖게되죠