책참 · 1020565 · 23/10/30 21:28 · MS 2020

미분 가능한 함수의 극대 극소는 도함수의 부호 변동으로 파악할 수 있습니다. 주어진 g 안에 합성된 x-2f(x)의 개형을 직접적으로 조사해보기가 어려우니 g의 도함수를 구해봅시다.

g'(x)=f'(x-2f(x))*(1-2f'(x))

g의 도함수 부호가 바뀌면 g는 극값을 지니는 것입니다. g가 극소가 되는 x의 개수가 1이라면 g의 도함수 부호가 -에서 +로 전환되는 순간이 1번이어야 합니다.

g'(x)를 f'(x-2f(x))와 1-2f'(x)의 곱으로 나누어 생각하면 f'(x)와 1/2를 비교하는 셈과 f'(x)=t(e^x-1)이라는 점에서 e^[x-2f(x)]와 1을 비교하는 셈이 됩니다.

다시 말해 f'(x)와 1/2의 대소 관계, x-2f(x)와 0의 대소 관계 혹은 f(x)와 x/2의 대소 관계에 따라 g가 극대를 가질지 극소를 가질지 극값을 가지지 않을지가 결정되는 것이라 생각할 수 있겠습니다.

t>0 이니 f'(x)=t(e^x-1)에서 함수 f(x)는 x<0에서 감소하다 x>0에서 증가하는 함수임을 확인 가능하고

f'(x)는 지수함수를 y축 방향으로 -1만큼 평행이동 한 후 실수배 한 것이니 단순하게 파악 가능합니다. 이후 각각 x/2와 1/2과의 대소 관계 비교하셔서 t값 결정해주시면 되겠습니다.

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책참 · 1020565 · 23/10/30 21:28 · MS 2020

수식들의 의미와 풀이 방향 간략히 정리해봤습니다! 이후는 홀로 하실 수 있을 것 같아 답 내는 과정 작성하지 않았습니다, 질문이나 더 이야기 나누고 싶으신 부분 있으면 답글 바랍니다.

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아재용 · 1227239 · 23/10/30 21:48 · MS 2023

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허수전체미분가능 · 778295 · 23/10/30 21:50 · MS 2017

1-2f’(x)는 x=0에서 부호가 바뀌지 않아요!

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아재용 · 1227239 · 23/10/30 21:58 · MS 2023

앗그렇네요… 음… 감사합니다! 두분다 보내드릴게요

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아재용 · 1227239 · 23/10/30 21:59 · MS 2023

두분다 보냇어요!

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허수전체미분가능 · 778295 · 23/10/30 21:49 · MS 2017

식들이가지는 의미가 무슨말씀을하시는지 정확하게는 모르겠으나 도움이되셨음 좋겠네요 ㅠㅠ

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아재용 · 1227239 · 23/10/30 22:03 · MS 2023

하나만 더 여쭤보겠습니다. f’(x - 2f(x))에서, x - 2f(x)의 최소값이 0보다 큰 조건을 설정한 것은, (1-2f’(x))가 - 에서 +로 바뀌기 위해서는 부호의 변화가 없어야 하기 때문이죠? 음수 구간이 존재하게 되면 다른 극값을 가지게 될테니까요.

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허수전체미분가능 · 778295 · 23/10/30 22:12 · MS 2017

음 인과관계가 조금 잘못되었어요 1-2f'(x) 는 x-2f(x)의 값이 어찌되든간에 x=ln(1+1/2t) 에서 -에서 +로 부호변화가 생깁니다.
저희가 생각해야할건 "1-2f'(x)와 f'(x-2f(x)) 의 곱" 의 부호변화인데,
x-2f(x) 의 최소값이 0보다 큰조건을 설정한 이유는, x-2f(x)가 0보다 작아버리는경우가 존재하게되면 f'(x-2f(x))의 부호변화가 생겨요. f' 안에 들어가는 값이 0보다 작을경우에는 f'의값이 음수가 나오기 때문이죠. 이렇게되는경우 위에 제가 써놓은것처럼 "1-2f'(x)와 f'(x-2f(x)) 의 곱"의 부호가
음 -> 양 -> 음 -> 양 이렇게 되버려서 극소,극대,극소 를 갖게되죠

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