삼도극 근사
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테일러 급수로 근사하는거 혹시 엄밀한 증명하는 관련 자료가 있나요?? ㅜㅠ 궁금해서 있으면 링크점
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그냥 테일러 급수를 보심 될 듯
0으로 가는 상황에서 삼도극 근사 쓸 때 tanx - sinx / x^3 이었나 이런 식들 냅다 근사해버리면 답이 틀리는걸로 알고.. 또 코사인은 테일러 급수에서 첫항인 1만 써버리면 틀리자나요.. 그런 기준? 같은걸 엄밀하게 알고 싶어서..
제가 간단히 이야기 하자면
테일러 급수는 초월함수를 다항함수화 하자는 거에요.
예를 들어 tan(x)는 당연히 다항함수가 아닌 함수지만
우리가 다루기 쉬운 함수는 다항함수니깐 이걸로 나타내보자는 아이디어를 낸거죠.
그래서 가정을 합니다. 아 tan(x)는 다항함수야..
=a0+a1x+a2x²+a3x³+.....+anx^(n)+.....
그럼 tan x를 x=0에서 근사함수를 얻은 겁니다.
근데 각 상수항이랑 계수를 모르죠?
다항함수는 x항을 없애면 상수만 남아서 상수는 구할 수 있습니다. 그리고 연속되는 미분을 통해 계수는 상수로 만들 수 있어요. (Ex/1번 미분하면 a1이 상수, 2번 미분하면 2×a2가 상수, n번 미분하면 n!×an이 상수)
뭐 암튼 이런식으로 각 계수를 특정하는데
삼각함수나 e^x는 미분값이 일정 간격으로 반복되기에 규칙성으로 쉽게 작성할 수 있고 자주 쓰이는 편입니다.
그래서 의문에 답변을 하면, 테일러 급수는 무한한 x^n으로 이어집니다. sinx=x로 끝나는 게 아니라 그 뒤로도 x³, x⁵, x⁷ ... 계속 있습니다. 그런데 lim x->0 sinx/x의 극한을 볼 때 그 뒤의 항은 의미가 없어서 유의미한 1차항만 남긴 거에요
감사합니다. 다만 여기서 한 가지 더 의문이 생기는데, 0에 가까워질 때 1차항 이외의 다른 항들을 없애도 되는 그 구체적인 증명과정이라는게 있을까요..? 고전역학 수업을 들을 땐, 물리 특성상 오차가 매우 작으니 테일러 전개로 바꾸는게 이해가 됐지만 엄밀히 따지는 수학에서 그 뒷항을 날리면 오차가 생길 수 밖에 없는데, 그 오차가 없다는 논리가 이해가 되지 않아서 질문 드려봅니다. 아니면 단순히 제가 극한의 개념이 제대로 잡히지 않아서 일까요..?
뒷부분을 러프하게 생략한다고 받아들이신 거 같은데 아무 근거없이 '생략', 날려버린다 이런 의미는 아니고요
저건 극한에 따른 겁니다. 다항함수 f(x)에서
lim x->0 f(x)/x 가 수렴할 때, 저 값이 무엇이냐 물으면
f(x)의 1차항의 계수입니다.
2차항 3차항 이런 건 있어도 극한으로 0이 되서 사라지잖아요.
앗 그러면 어느정도 이해된 듯 합니다..! 감사합니다 :)
tanx-sinx/x³이면 분모가 x³이니깐 분자의 x³계열의 계수를 묻는 질문이죠?
그럼 sinx=x로 tanx=x로 치환하는 건 의미가 없습니다.
각자를 x로 치환하는 건, 개별을 인수로 봤을 때 sinx/x, tanx/x 식에서 의미있는 1차항을 살린 거고
x³ 3차항을 묻는 경우엔 nonsense한 게 되죠
그럼 이 때는 테일러로 못 푸나요? 하면 아닙니다.
sinx와 tanx의 x³에서의 의미있는 3차항의 계수를 암기하면 됩니다.
감사합니다..!