수학 2번 복기 & 풀이
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a_n = n!, b_n과 c_n은 모두 자연수
2이상의 자연수 n에 대하여
(가) b_n의 모든 소인수는 n 이하
(나) log_(2) n^3 <= c_n <= log_(2) n^4
(다) b_n은 (a_n)^(c_n)의 약수가 아님
다음 수열의 수렴과 발산을 판정하고, 수렴하는 경우 수렴값을 구하여라.
(1) {1/n ln(a_(2n)) - 1/n ln(a_n) - ln(2n)}
(2) {b_n/n^2}
(1) ln으로 묶으면 1/n sum_{k=1}^{n} ln((n+k)/2n)과 같아져서 정적분의 정의에 의해 int_{0}^{1} ln(1+x) dx - ln 2 = ln 2 - 1
(2) b_n의 소인수 p_i에 대하여 p_i <= n이므로 n!은 p_i를 소인수로 가진다. n!에 있는 p_i의 개수를 d_i라 하자. 즉, (p_i)^(d_i)는 n!의 약수이지만 (p_i)^(d_i + 1)은 n!의 약수가 아니다.
한편 (a_n)^(c_n) = (n!)^(c_n)이므로 이는 최소 (d_i)(c_n)개의 p_i를 가지고, 따라서 b_n의 소인수 q가 존재하여 b_n은 (d)(c_n) + 1개 이상의 q를 가진다. (그렇지 않을 경우 b_n은 (n!)^(c_n)의 약수가 되어 모순, d는 b_n이 가지는 q의 개수)
q는 소수이므로 2 이상이고 b_n은 q^((d)(c_n) + 1)의 배수이므로 b_n >= q^((d)(c_n) + 1) >= 2^((d)(c_n) + 1) = 2 × (2^(c_n))^(d)이다.
한편 조건 (나)에 의해 n^3 <= 2^(c_n)이고 d >= 1이므로 b_n >= 2 × (n^3)^1 = 2n^3
따라서 (b_n)/(n^2)은 양의 무한대로 발산.
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2-1) 0아닌가요? 정적분 정의를 어떻게 이용한거에요?
ln 안을 ln(1/2 + k/2n)으로 바꾸면 적분식이 저렇게 나와요
맞는듯
발산인거 같았는데 풀이를 잘 못썼네