230620 진짜 교과서 풀이
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서술형 시험이 아니니까 직관적으로 넓이 변화 관찰하는 풀이도 당연히 의도한 것 같긴 하고, 또 ’그래프를 평행이동한 함수‘를 미분하는 아이디어도 좋고, 적분 두 개로 쪼개는 방법도 있지만 제 생각엔 이게 대다수 학생들에게 가장 현실적인, 또 교과서적인 풀이같아요.
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x=1, 4에서 미분계수의 정의를 활용하신 풀이군요! 잘 읽었습니다. 미분계수를 일반화한 개념이 도함수라는 점에서 g(x)=F(x+1)-F(x)로 작성해 g’(1)=g’(4)=0을 이용하는 풀이와 본질적으로 일치한다고 생각합니다. 교과서적이자 현장에서 수험생이 충분히 떠올릴 수 있을 풀이라 생각해요!
(단, F’(x)=ㅣf(x)ㅣ)
결국은 수학2 교과서에서는 x에 대하여 f(x)를 미분하는 방법을 배우지 x에 대하여 f(x+1)을 미분하는 방법을 배우진 않잖아요. 따라서 미분해서 풀려면 무언가 단서가 필요한데요..
이것도 정의역과 공역 사이에서의 원래 도함수의 대응을 나타내는 그림을 떠올려 보면, 정의역 안에서 화살표의 시작점을 1씩 옮기는 식으로 생각하여 충분히 현장에서 미분해도 그냥 똑같겠다는 예상을 하고 문제를 풀 수 있을 것 같아요. 그런데 이런 식으로 생각하는 건 기존의 기출과도 너무 결이 다르고, 또 미적분 과정이 선택과목으로 존재하는 상황에서 수학2 내용만으로 깔끔하게 해결되는 그런 이상적인 풀이법이라 하기엔 무언가 찜찜한 면이 있어서 다른 풀이가 있을까 고민해보게 되었던 게 계기였습니다.
그리고 다시 생각해 보니 ‘현실적인’이라는 제 표현이 잘못되었네요. ‘발상 없이 최대한 교과서만 가지고 푸는 풀이’가 정확할 것 같아요.
윗 설명처럼 대응을 옮기는 식으로 풀이해도 되겠지만.. 따져 보면 교과서에서 배우지 않은 개념을 정당화하기 위해 어쨌든 한 단계를 밟아야 하잖아요. 그래서 본문의 방법은 수능특강, 수능완성, 교과서에서 매일 하던 ‘x가 a에 가까워지는데 분모가 x-a인 0분의 0꼴이 보이면 미분계수를 의심한다’라는 수학의 전형적인 풀이 방법을 사용한다는 점에서 의의가 있다고 생각해요.
물론 시험장에서는 적당히 엄밀한 직관이 바로 보인다면 그걸로 때우는 게 맞고, 시험을 준비하는 입장에서는 다양한 방식으로 풀어 보며 가장 많이 얻어 가는 게 맞는 거죠. 그리고 정확히 지적하셨듯, 그걸 다 해 보고 나니 특수한 경우에 대해서 세부적으로 계산한 풀이나 일반화된 풀이나 둘 다 똑같은 이야기라는 점을 알게 되는 것이네요.
좋은 의견 감사합니다.
수학2 교과서에서 x에 관해 함수 f(x+1)를 미분하는 방법을 가르칩니다! 모든 교과서가 그러는 것인진 모르겠는데 제가 고등학교 때 학습했던 교과서에서는 분명히 x축 방향으로 n만큼 평행이동한 함수의 도함수를 구하는 과정을 직접 식 정리, 그래프를 그려 직관적으로 이해하는 방법 등으로 다루었습니다.
이 근거에서 g(x)=F(x+1)-F(x)을 통해 g'(x)=ㅣf(x+1)ㅣ-ㅣf(x)ㅣ식을 작성해내는 풀이도 말씀하신' 발상 없이 최대한 교과서만 가지고 푸는 풀이'라고 생각합니다. 구간 [a, b]에서 함수 f'(x)의 적분값이 f(b)-f(a)라는 미적분학의 기본 정리는 심지어 수학2 교과서에서 정적분의 '정의'로 소개하고 있습니다. 교과서에서 배우지 않은 개념이 아닙니다.
언급했듯이 미분계수를 일반화한 개념이 도함수이고 교과서에서 이 흐름으로 소개하고 있습니다. 따라서 '본질적으로'는 말씀하신 풀이와 같은 풀이라고 생각합니다. 물론 바로 도함수를 구하기 전에 특정 x값에서의 미분계수를 먼저 조사해보는 사고 과정을 추가할 수 있다고 생각합니다. 몇 가지 예시를 들어보며 상황의 핵심을 파악하는 것은 중요한 추론 능력이라고 생각하기 때문입니다.
다시 한 번 남기지만 g'(x)=ㅣf(x+1)ㅣ-ㅣf(x)ㅣ을 작성해내는 수학2를 제대로 학습한 수험생 기준으로 직관적인 풀이도, 발상적인 풀이도, 현장에서 떠올리기 쉽지 않은 풀이도 아닌 '현장에서 떠올리기 힘든 사고과정 없이 교과서에서 가르치는 내용들만 가지고 푸는 풀이'임을 말씀드립니다.
이러한 생각 이어나가시는 모습이 멋지십니다! 올해 수능 응시하신다면 꼭 좋은 결과 있길 바랍니다.
첨언하자면, 아시다시피 합성함수 미분법을 수학2에서는 가르치지 않습니다. 따라서 주어진 함수 g(x)가 F(3x+2)-F(x) 꼴이었다면 문제를 잘못 출제했다고 말하는 것이 맞습니다. 하지만 F(x+1)-F(x)에서 x+1은 x를 x축 방향으로 -1만큼 평행이동한 함수이기에 평행이동을 통해 상황을 이해해볼 수도 있고, 일부 교과서에 소개되어있듯이 (제가 모든 교과서를 살펴보지 못했기 때문에 '일부'라는 표현을 사용했습니다) f(x+k)의 도함수가 f'(x+k)임을 이용했어도 됩니다.
2023학년도 6월 20번이 미적분 선택자에게 유리한 이유는 '미적분이 수학2의 연장선'이기 때문에 확률과 통계, 기하 선택자 분들에 비해 더 깊은 이해도를 쌓을 확률이 커서라고 생각합니다. 합성함수의 미분법이라는 미적분에서는 배우지만 수학2에서는 배우지 않는 개념이 유리하게 작용하는 면이 없다고 말할 수 없지만 그것이 절대 큰 것도 아니라 생각합니다.
230620은 수학2를 '제대로' 학습한 (교과서의 내용들을 꼼꼼히 확인해보고 ebs 연계교재와 평가원 기출 문항을 깊이 있게 홀로 분석해본) 확률과 통계, 기하 선택자 분들께 아무런 불리함이 없던 문항이라고 생각합니다. 다시 한 번 수험생 분들께 좋은 생각해볼 거리를 글로 남겨주신 것에 깊은 감사를 표합니다!
네 말씀주신 내용 중 본질적인 부분에 대해서는 저도 완전히 동의합니다. 그리고 해당 문항의 유불리 논란에 대해선 사실상의 유불리가 없다고 봅니다.
다만 제 기억이 정확하다면, 예전에 제가 보았던 네 개의 출판사에서 나온 15개정 교과서에는 f(x+1)을 x에 대해서 미분하는 방법에 대해 평행이동 관점으로 혹은 다른 방식으로라도 설명하는 부분이 전혀 없었습니다. 탐구활동 등 부록도 모두 포함해서요. 어디였는지 기억은 안 나지만 어떤 교과서에 실린 문제는 이와 똑같은 문제이거나 비슷한 식의 계산을 하도록 요구하는 것 같으면서도, 해설을 보면 본문 방식처럼 특수한 경우에 대한 미분계수만 구하는 식으로 풀더군요. 또 그해 수특, 수완에도 그러한 내용을 담은 문제가 없었던 걸로 알고 있습니다.
따라서 평가원이 자신들이 공언한 출제 기준을 지켜서 문제를 만들었다면, 즉 교과서의 공통 범위나 연계 교재에 실린 내용에 근거하여 출제한 것이라면 그러한 기준을 만족시키는 풀이가 (그런 걸 만드는지도 모르고 실제로 공개하지도 않지만) 문서상에 기재되는 예시 모범 풀이 1번이 되는 것이라 생각합니다. 이런 맥락에서 가장 ‘교과서적인‘ 풀이라는 표현을 사용한 것이고요. (’평가원스러운‘이라 하기엔, 평가원 출제진들도 문항 제작 시점에서부터 이미 다 예상한 암묵적인 직관 풀이가 존재하지 않을까 싶기도 하고 말이죠.)
저도 글을 읽으며 많이 생각하고 또 배우게 됩니다. 감사합니다.