수열에 관한 오개념

보통 수열을 정의해보라고 하면 "수를 어떠한 규칙에 따라 나열한 것" 이라는 설명이 많이 나옵니다. 이렇게 정의하는 문제집과 교과서도 여럿 있었던 것 같고요.

하지만 이 정의에는 문제가 많습니다. 우선, '규칙'이라는 것은 엄밀하게 정의된 개념이 아닙니다. 1, 2, 3, 4 다음에는 5가 오는 것이 일반적이지만, 꼭 그렇다는 보장은 없습니다.

만약 1, 2, 3, 4, 29라는 수열이 있다면, 이건 수열이 아닌가요? 만약 수열이라면 수열의 정의에서 언급된 '어떠한 규칙'을 어떻게 설명할까요?

결과론적으로는 a_n = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) + n이라는 일반항을 따르는 수열이므로, 이 일반항을 규칙이라고 할 수 있을겁니다.

하지만 위 정의에서의 '어떠한 규칙'은 이런 의미가 아닌, 통상적인 수준의 규칙만을 뜻하고 있습니다. '규칙'을 찾아서 몇 번째 항을 구하는 전형적인 기초 문제만 봐도 그렇죠.

1, 3, 9, 27, 81, ... 로 주어진 수열의 1729번째 항을 구하여라 같은 문제들은 본질적으로 '통상적인 규칙을 가정하고' 규칙을 찾는 것을 의도한 문제입니다. 하지만 이건 애초에 틀린 문제죠. m = 10^10^10^10^10에 대해서 1부터 m까지 a_n = 3^(n-1)이 성립한다는 조건이 있더라도 a_(m+1) = 3^m이 성립한다고 말할 수 없습니다.

즉, 복소수를 랜덤하게 무한히 나열하더라도 일반항은 반드시 존재하고, 그 일반항 자체가 규칙이 되는겁니다. 모든 자연수 n에 대하여 f(n) = a_n을 만족시키는 복소함수 f는 무한히 많이 존재하므로, 그중 아무거나 선택하면 그게 곧 일반항이자 '규칙'이 됩니다. (이 일반항을 직접 구하는 일은 완전히 다른 이야기이지만, 존재하는건 확실합니다. 임의의 5차방정식이 주어졌을 때 근의 공식이 없기 때문에 근을 닫힌 형식으로 딱 구하는 것은 불가능하지만, 그렇다고 이 5차방정식의 복소근이 존재하지 않는 것은 아니라는 것과 같은 이야기입니다.)

따라서 수열은 "어떤 규칙에 따라 수를 나열한 것"이 아니라, 단순히 자연수 또는 정수를 정의역으로 가지는 실함수(또는 복소함수)입니다.

또한 여기서의 '규칙'도 상당히 애매한 용어이기 때문에 앞서 설명한 '일반항의 존재 유무'로 해석해야하는데, 그 어떤 랜덤한 배열이라도 일반항이 존재하기 때문에 결국 규칙에 대한 이야기는 아무 의미가 없어집니다. 4787 76434 86734 43434 1 5 로 나열된 수열이 있다면 그 상황 자체가 규칙입니다.

'1, 2, 3, 4 다음에 5가 오는 통상적인 규칙' 은 더 이상 수학의 영역이 아닙니다. '통상적'은 수학적으로 잘 정의된 개념이 아닙니다. 등차수열과 등비수열을 우선한다 등과 같은 정의가 있으면 몰라도, 그런 합의가 있는 것도 아니죠. 1 3 다음을 누군가는 5라 하고 누군가는 9라 할 수 있을겁니다. 하지만 어느쪽도 꼭 그래야만 하는 근거는 전혀 없으며 1 3 다음에 4가 와도 전혀 이상하지 않죠.

수학에서는 이러한 '직관적이고 통상적인 규칙'이 통하지 않는 예시가 셀 수 없을 만큼 많으며 수열의 정의로 인해 '규칙'에 대한 편견과 오개념을 가지게 되는 것은 상당히 위험합니다.

이 '통상적인 규칙' 접근법을 이용하여 일반항을 유추할 수는 있지만, 반드시 수학적 귀납법 등으로 엄밀한 증명을 해야됩니다. 그게 아니면 그냥 우기기일 뿐이죠. 같은 논리로 멘사나 아이큐 테스트의 규칙 찾기 문제들은 대부분의 문제가 논리적으로 합당하지 않은 문제들입니다. 출제자한테 왜 그것만이 답이 되어야하는지 물어봐도 절대로 논리적인 설명을 제시하지 못합니다.

어쨌든, 수열을 바라보고 공부할 때 "규칙" 이라는 단어는 머릿속에서 삭제하시는게 좋을겁니다.