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풀다가 문제 너무 맛있어서 감탄해버렸습니다
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풀이 임당
마지막에 완전 제곱꼴로 풀리는 거 맛있네요
4
이미 답이 올라와있구마잉....
1. 다음과 같이 식을 작성해볼 수 있습니다.
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
g(x)=x^4+bx^2+d
h(x)=ax^3+cx
2. (x+1)g(x)h(x)를 xg(x)h(x)+g(x)h(x)로 생각해주면 g(x)는 우함수고 h(x)는 기함수이므로 g(x)h(x)는 기함수이고 xg(x)h(x)는 우함수임을 알 수 있습니다.
따라서 주어진 조건식의 좌변은 구간 [0, 2]에서 2xg(x)h(x)를 적분한 것이 됩니다.
3. 조건식을 정리해주면 구간 [0, 2]에서 [g(x)-xh(x)]^2를 적분한 값이 0이 됨을 확인할 수 있습니다. 그런데 함수 [g(x)-xh(x)]^2는 치역의 원소가 모두 0 이상이므로 구간 [0, 2]에서 y=0이 되지 않으면 모순이 발생합니다. 따라서 구간 [0, 2]에서 g(x)=xh(x)가 성립해야함을 알 수 있고, 식을 정리해보면 a=1과 b=c와 d=0을 얻을 수 있습니다.
4. f(x)=x^4+x^3+bx^2+bx이고 마지막 적분식이 의미하는 것은 구간 [0, 1]에서 함수 x^4+bx^2를 적분한 것이 11/5라는 뜻이므로 b=6이 됩니다.
따라서 f(x)=x^4+x^3+6x^2+6x이고 f(1)=1+1+6+6=14가 정답이 되겠습니다.
식 갖고 놀기 재밌네요! 귀류법으로 구간 [0, 2]에서 g(x)=xh(x)가 되어야 함을 발견하는 과정과 실수 전체의 집합에서 g(x)=xh(x)가 되어야 함을 이끌어내는 과정이 인상적이었습니다!
문제 출처가 어떻게 되나요?
강대N제 시즌 2입니다~!