책참님 그냥 책 한 번 읽고 오셔요.(선형대수학)
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단도직입적으로 말하자면, 너만킷님은 실수와 스칼라를 동치관계라고 단정지은 책참님의 말에 대해 오류를 지적한 거지, 실수는 무조건 벡터다!라고 말한게 아닙니다.
정말 쉽게 설명드리자면, 더하기와 곱하기 연산이 성립하는 집합이 field(체) 위에 있을 때 그걸 vector space(벡터 공간)이라고 합니다.
수학에서는 field(체)를 실수 전체 집합, vector space는 R^2 공간으로 둡니다.
그리고 field(체)는 그 자체로 이미 더하기와 곱하기 연산이 성립하기 때문에 field(체)는 vector space(벡터 공간)인데 over itself
즉 자기 자신 위에 있는 vector space(벡터 공간)입니다.
앞서 말씀드린 내용을 바탕으로 실수 전체 집합은 vector space(벡터공간)입니다. Vector space(벡터 공간)이 성립하기 위한 조건을 만족시키기 때문입니다.
같은 맥락에서 복소수의 전체 집합 또한 vector space(벡터 공간)입니다.
수학적으로 vector는 vector space(벡터 공간)의 원소로 정의하기 때문에 실수와 복소수는 자명히 벡터입니다.
그러나 앞서 설명했듯이 field(체)의 원소는 스칼라이기 때문에 실수는 벡터임과 동시에 스칼라입니다.
이렇게 설명하면 벡터의 방향성에 의문을 가지실 수 있으니 첨언하자면, 벡터의 방향이라는 건 R^2의 형태를 가지는 벡터를 좌표평면에 나타냈을 때 X축과의 각도를 말합니다.
2차원 공간인 좌표평면 상에 실수는 나타낼 수 없으니 방향이 없는 벡터고요. 1차원 공간에서는 내적을 만족하므로 방향이 있다고 볼 수 있는 겁니다.
1차원을 제외한 모든 공간에서는 방향을 정의할 수 없습니다. 그리고 3차원 공간에서는 좌표축이 변환되기에 X축만으로 방향을 측정하지 않습니다.
누군가를 비판하고 직접 결론 짓고 싶다면 그에 따른 철저한 학습은 필수 아닌가요? 또한 본인이 모르는 내용은 인정을 하셨으면 좋겠습니다.
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자유롭게 토론하는 건 좋은데, 자기의 편협한 지식으로 성급하게 단정하는게 문제네요
와 글쓰는거 대학원생느낌나네
예전에 선대 공부했던 기억이 나네요. 아마 선형대수쪽에서 다루는 벡터랑 고등학교에서 다루는 벡터를 혼동해서 문제가 생긴것 같네요. 저도 처음 공부할때는 행렬이랑 다항식도 벡터인걸 알고 좀 충격먹었던…
그러게요 대부분 고교 과정 내 벡터의 정의가 머리 속에 자리잡았는지.. 벡터는 방향과 상관없다 내지는 방향이 없는 벡터는 따라서 존재할 수 있다는 존재성을 납득하지 못 하는 학생들이 생각보다 많더라고요..
선형대수학 내용을 일목요연하게 정리하셨네
최대한 쉽게 설명해보려고 노력했습니다 ㅜ
오 친절하게 설명해주셔서 감사드립니다 ㅜㅜ 덕분에 이해되었어요
그렇다면 '실수는 일반적으로 스칼라로 분류되며 선형대수학에서 벡터로 분류할 수도 있다'라는 문장도 잘못된 것이라고 말하는 게 맞나요? '실수는 스칼라로 분류될 수도 있으며 벡터로 분류될 수도 있다'라고 고치는 것이 적절한 것인가요?
아 그리고 이전 본문에 있던 구글 검색 결과에서 '실수는 크기만 존재하고 방향이 존재하지 않기 때문에 스칼라로 분류한다'라고 되어있던 부분도 선형대수학을 갖고 오면 잘못되었다고 말하는 것이 적절한가요?
수학적으로 벡터는 방향하고 관계가 없어요.
벡터의 정의는 벡터공간의 원소예요
포함관계상 크기와 방향을 갖는 물리량을 뜻하는 유클리드 벡터가 저 큰 정의 안에 포함이 되는 거죠.
1차원상에서는 실수도 방향이 있는 벡터가 될 수 있습니다.
다만 그외에 모든 공간에서는 방향이 없는 벡터입니다.
실수는 스칼라면서 벡터다. 라고 말하는게 정확한 표현입니다.
감사드립니다. 권해주신 대로 종강 하고 선대 책 한 권 읽고 오겠습니다! 수능 수학 공부하며 개념에 충실히 시간을 보냈어서 대학에 온 후로 오개념을 바로잡는 역할만 해왔는데 제가 잘못 알고 있었다니 부끄럽네요... 시간 내어 설명해주셔서 감사드립니다. 편협한 지식으로 성급하게 단정지은 점, 사과 드립니다
제가 쓴 게시물 중에 3차원 모든 벡터의 회전을 표현해봤다는 글 있는데 그게 벡터의 근간이 되는 사원수라는 친구예요 벡터라는 건 사원수를 쉽게 사용하기 위해 도입된 표기고..알아둬서 나쁠 건 없습니다 원서는 쿤제나 호프만이 좋긴 한데 이건 너무 딥해서 프리드버그로도 충분해보입니다 열공하세요
오 감사드립니다, 그 글도 확인해보겠습니다!! 혹시 시간 되시면 한 가지 더 여쭤보고 싶습니다
'위치의 변화량과 움직인 거리는 각각 벡터와 스칼라에 속하는 물리량이라는 점에서 직접적인 크기 비교는 불가한 것처럼 보인다. 하지만 1차원 벡터 공간의 경우 (1차원 운동을 다룰 때) 실수는 스칼라로도, 벡터로도 분류될 수 있다. 따라서 1차원 운동을 다룰 때는 변위와 이동 거리를 직접 비교할 수 있다.'
이 문장에는 오류가 없나요? 예를 들어 수직선 위를 움직이는 어떤 물체 A가 t=0~t=3에서 4만큼 움직였고 이때의 변위가 -3일 때 't=0~t=3에서 A의 변위보다 움직인 거리가 크다'라고 말할 수 있는지 궁금합니다. 다시 말해 -3의 -를 '왼쪽'이라는 방향을 나타내는 기호가 아닌 음의 실수임을 나타내는 기호로 생각해도 될지 괜찮을지 궁금합니다.
(이 문장에 오류가 있다면 [2022학년도 수능 예시 문항 14번]의 ㄷ 선지와 [2024학년도 6월 14번] 또한 교과서에 근거하면 문제가 없지만 실제 수학적인 지식들로 바라볼 때는 문제가 있을 것 같아 여쭤봐요)
나아가 2차원 운동에서는 변위는 벡터에 속하고 이동 거리는 스칼라에 속하기 때문에 직접적인 대소 비교가 불가하다고 설명할 수 있나요? 그렇게 설명할 수 있다면 n=/=1일 때 n차원 벡터 공간에서는 벡터와 스칼라를 대소 비교할 수 없지만 1차원 벡터 공간에서는 가능하다는 결론으로도 이어질 수 있는지 또한 궁금합니다.
똑똑하네