미적 28번 f(x) 확정 가능할까?

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불가합니다. 일단 구간 [0, 2]에서는 확정 가능합니다. f(x)가 취할 수 있는 두 함수가 하나는 치역이 [-1, -1/2]이고 다른 하나는 [-3/2, -1]이라서 구간 (-1, 1)에서는 사진 속 f만 가능하고 구간 (1, 3)에서는 사진 속 g만 가능하기 때문입니다.

그런데 구간 (-inf, -1)과 구간 (3, inf)에서는 확정할 수 없습니다. x<-1에서는 사진 속 f대로만 가도 상황을 만족하고 가다가 중간에 g로 갈아타도 괜찮고 갈아탔다가 다시 f로 돌아와도 상황을 만족하기 때문입니다. 마찬가지로 x>3에서도 g대로만 가도 상황을 만족하고 중간에 f로 갈아타거나 갈아탔다가 다시 g로 돌아와도 상황을 만족하기 때문에 우리는 f(x)를 구간 [-1, 3]에서만 확정지을 수 있습니다. 그 외의 구간에서는 f가 취할 수 있는 함수의 후보만 알고 있을 뿐입니다.

따라서 함수 f(x)가 x=1에서 대칭임을 이용한 대칭성 풀이는 잘못 되었습니다. 우변이 x=1 대칭이라고 좌변도 x=1 대칭일 것이라 짐작하는 것은 적절하지만 그로부터 f(x)가 x=1 대칭임을 얻는 것은 잘못된 사고 과정입니다. 마치 어떤 함수가 x=a에서 미분가능하다고 그 함수의 도함수가 x=a에서 연속이라고 짐작하는 것과 같습니다. 수학에서는 엄밀하게 증명할 수 없으면 반례가 존재할 확률이 큽니다.

따라서 선대칭 풀이에서 '어떻게 이런 반례를 찾나요?'라는 질문도 잘 생각해보시면 스스로 답하실 수 있습니다. 증명할 수 없기 때문에 반례가 존재할 가능성을 배제할 수 없는 것입니다.

또한 이 글에서 전하고자 하는 바와 사진 속 그래프를 잘 보시다보면 다음 문제가 떠오르시면 좋습니다.

이 문제도 다음과 같은 상황에서 구간 별로 f(x)를 결정하는 문제였습니다. (n 자연수 조건을 '모든 자연수 n'으로 고치는 것이 적절합니다)

지금까지 생각해본 바에 의할 때 이번 2406미28은 다음의 네 문제를 학습했다면 상황을 현장에서 엄밀하게 해석할 수 있었던 문제라고 말할 수 있겠습니다.

1711나30

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멘탈최소예수님 · 1148800 · 23/06/03 22:56 · MS 2022

그래프 감사합니다. 어제 정병훈선생님께서 x=1에서 미분가능한지 살짝 호기심보이시고 바빠서 넘어가셨던데 미분가능일까요?

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책참 · 1020565 · 23/06/03 23:03 · MS 2020

미분계수 정의 이용해 함 해보셔요! 그래프로는 미분 가능해보이네요

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멘탈최소예수님 · 1148800 · 23/06/03 23:09 · MS 2022

아 그런 방법이! 기하 선택자여서 초월함수도 미분계수 정의 쓰면된다는것을 잊었네요.. 추가 그래프도 감사합니다!!

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책참 · 1020565 · 23/06/03 23:11 · MS 2020

모든 미분가능성은 미분계수의 정의로 조사하시면 됩니다 ㅎㅎ 일부 상황에 있어 도함수의 연속으로도 확인해볼 수 있긴 한데 그건 말 그대로 일부 상황이고 고려해야할 조건이 넘 많기 때문에... 시험 현장에서는 대충 도함수 극한 조사해서 답 나오면 넘어감 되지만 지금처럼 천천히 생각해보고 고민해보며 확실한 검증을 원할 때는 미분계수의 정의로만 접근해봐야죠! 미분가능성은

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수학복수전공의대생 · 1177692 · 23/06/04 15:49 · MS 2022

수학적으로 엄밀하진 않지만 geogebra를 사용하신다면 저기에 도함수 그래프 그리고 연속적인지는 볼 수 있어요!

도함수가 불연속이고 원래 함수가 미분가능한 케이스도 존재는 하지만 저 케이스에서는 아닐 거라는 걸 알 수 있고, 미분가능이 맞을 것 같다는 심증이 있으니까요

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허들링푸는린양 · 1160634 · 23/06/05 12:13 · MS 2022

https://youtu.be/yPKJkob7hZs
5:11초에서 한석만 선생님이 우변이 x=1 대칭이니 좌변도 x=1 대칭이라고 생각하는게 훌륭하다 라고 하셨는데 위 글에서는 또 아니라고 해서 혼란이 오네요 혹시 어느쪽이 맞는 논리인건가요?

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책참 · 1020565 · 23/06/05 22:44 · MS 2020 (수정됨)

우변에 주어진 함수가 x=1 대칭이니 좌변에 주어진 함수 [f(x)]^2+2f(x)가 x=1 대칭이라고 하는 것은 적절합니다. 왜냐하면 등호가 의미하는 것이 좌변과 우변에 있는 정보가 서로 필요충분조건 관계에 있음이기 때문입니다.

그런데 여기서 함수 f(x)가 x=1 대칭이라고 하는 것은 적절하지 않습니다. 본문은 이 내용을 다루고 있고 [2017학년도 수능 나형 30번]과 [2023학년도 수능 22번]으로부터 이어온 '합성방정식의 해를 직접 구하기' 풀이를 소개하고 있습니다!

아 본문에 '우변이 x=1 대칭이라고 좌변이 x=1 대칭'이라는 표현을 썼군요, f(x)가 x=1 대칭이 아님을 말하고 싶었는데 오해를 불러일으킬 수 있겠네요. 수정해두었습니다.

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