삼차함수의 두 실근이 고정되었을 때 경우의 수 분류 : 11가지
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예를 들어 최고차항의 계수가 양수이고 0과 1을 근으로 갖는 삼차함수가 주어졌다고 해봅시다.
다항방정식의 허근은 짝수개로 존재하고 삼차방정식은 중근 복셈에 허근까지 세면 항상 3개의 근이 존재합니다.
그런데 이미 2개가 실근으로 밝혀진 셈이니 남은 1개도 실근 확정입니다, 따라서 다음과 같이 식을 작성해보아요
이제 원활한 경우의 수 분류를 위해 0과 1 외에 -1과 2를 x축 위에 표시해줍시다.
이 과정은 주어진 두 실근이 alpha, beta 라면 alpha로부터 ㅣalpha-betaㅣ만큼 왼쪽으로 떨어진 값과 beta로부터 ㅣalpha-betaㅣ만큼 오른쪽으로 떨어진 값을 찍어주는 것으로 이해할 수 있습니다.
달리 말하면 alpha<beta일 때 alpha-ㅣalpha-betaㅣ와 beta+ㅣalpha-betaㅣ를 생각해주는 것이죠!
첫 번째 경우는 p값이 (f(x)의 결정되지 않은 실근) -1보다 작은 곳에 위치할 때입니다.
이때의 특징은 f(x)와 x축으로 둘러싸인 부분 중 위로 올라와있는 곳의 적분값이 더 크다는 것입니다.
같은 방식으로 살펴봐봅시다. p값을 -무한대에서부터 천천히 끌어오다보면(?) 이 상황이 더 이상 유지되지 않을 때는
p값이 -1에 걸릴 때입니다. 이때는 다음이 성립합니다.
다음 경우는 p가 -1과 0 사이, 다시 말해 alpha-ㅣalpha-betaㅣ와 alpha 사이에 위치할 때입니다.
이때는 다음이 성립합니다.
참고로 직관적으로, 그래프로 파악하기엔 주어진 적분식이 성립할 것 같은데 실제로 성립하는지를 엄밀히 확인해보고 싶으신 분들은 f를 위에 작성했던 대로 나타낸 후 직접 적분해보시면 됩니다.
수학을 오래 붙잡고 있을수록 느낄 수 있다 하던데 결국 그래프를 통해 직관적으로 확인할 수 있는 바와 수식으로 표현한 것이 정확히 필요충분조건이라고 합니다! (저는 아직 잘 모르겠는데 한완수 저자 이해원 분과 영재고 졸업한 공대생 친구가 그러더라고요)
다음 경우는 p가 0에 걸릴 때입니다. 이때는 f(x)가 x=0에서 접하는 상황이니, 다시 말해 방정식 f(x)=0이 x=0을 중근으로 갖는 때이니 직관적으로 상황을 그려볼 수 있겠죠?
다음은 p가 0과 1 사이로 들어온 경우인데 이때는 직관적으로 1/2에 걸리냐 마냐를 나눠야할 것임을 느낄 수 있습니다.
우리가 적분값 정보로 상황을 정리해볼 때 p가 1/2에 걸리면 다시 점대칭인 함수가 되기 때문이죠!
다음 경우는 점대칭일 때입니다.
이때는 다음 적분식이 성립합니다.
다음은 다시 왼쪽 부분이 더 클 때입니다.
적분으로는 다음과 같이 표현해볼 수 있겠습니다.
다음은 p가 1에 걸릴 때인데, 이쯤 되면 이런 궁금증이 들 수 있습니다.
이런 식으로 위치해서
이게 성립할 수는 없는지?
직접 확인해보시면 안되고요 이유는 직접 계산해봤을 때 주어진 p값의 범위에 대해 모순이 발생하기 때문입니다.
p가 1에 걸릴 때입니다.
마찬가지로 방정식 f(x)=0이 x=1을 중근으로 가질 때이니 직관적으로 상황을 파악해볼 수가 있습니다.
다음은 p가 1과 2사이에 걸릴 때입니다. 다음이 성립합니다.
처음에 p가 -1보다 작은 쪽에 걸릴 때와 비슷한 느낌이죠?
다음은 마지막 점대칭 case입니다. 다음이 성립합니다.
마지막으로 p가 2보다 클 때입니다.
다음이 성립합니다.
오늘은 이렇게 삼차방정식의 두 근이 고정되었을 때 남은 한 실근의 위치에 따라 나올 수 있는 삼차함수의 그래프와 그에 따른 실근 사이 구간에서의 적분값을 비교한 정보를 살펴봤습니다.
최고차항의 계수가 음수일 때도 마찬가지로 alpha-ㅣalpha-betaㅣ, alpha, beta, beta+ㅣalpha-betaㅣ를 기준으로 살펴볼 수 있으니까요! 직접 해보시기 바랍니다.
p.s.
평가원 기출 문항 중에서도 이렇게 두 실근 고정해두고 남은 한 실근의 상대적인 위치에 따라 경우 분류하도록 했던 문제가 꽤 있던 것으로 기억하는데 최근 기출은 아니기 때문에 저도 기억이 나진 않습니다..만 언젠가 찾으면 추가해둘게요
이 글은 [2023학년도 9월 14번] ㄴ을 논리적으로 판단해볼 수 없을까 싶어 찾다가 11가지 경우 모두 다뤄보면 확실하게 풀이를 작성해볼 수 있겠다 싶어 쓰기 시작했습니다!
결국 그래프 등을 통해 시각적으로 파악할 수 있는 모든 것들은 수식으로도 표현가능한 정보들이기 때문에.. 이 글 확인하시는 분들도 이렇게 점검해보시면 어떨까 생각합니다.
또한 ㄴ은 ㄱ에서 사고를 이어갈 때 대충 세 번째 실근을 x=-1로부터 조금씩 왼쪽으로 밀어도 상황이 성립하지만 오른쪽으로 밀면 그렇지 않을 것 같다는 직관으로 현장에서는 ㄴ이 참임을 보일 수 있을 듯한데 논리적으로 보이자니 시간을 꽤 들여야하는 것은 14번이라는 위치의 운명 같기도 하네요
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감사드립니다! 칼럼이라기엔 항상 당연한 것, 평가원 기출 공부하며 한 번쯤 접해볼 만한 것들을 소개하는 느낌이라 날먹하는 기분이 드는 ㅋㅋㅋ
오 오늘 저 문제로 낑낑댔는데... ㄱ부터 너무 빡빡한거 아닌가요 ㅠㅠ
ㄱ은 구간 [0, 1]에서 f(x)를 적분한 것과 ㅣf(x)ㅣ을 적분한 것이 일치한다는 말인데, 이건 '만약 구간 [0, 1]에서 f(x)<0일 때가 존재하면 어떨까?'라고 생각해보시면 바로 해결될 거예요. 그럼 구간 (0, 1) 내에서 f(x)=0이 성립하도록 하는 실수값 p에 대해서 적분 구간을 [0, p]와 [p, 1]로 나누어 바라보시면 모순이 생김을 확인하실 수 있을 거예요. 그래서 구간 [0, 1]에서 f(x)<0인 때가 없기 때문에 ㄱ은 참임을 확인하실 수 있습니다.
참고로 저 생각의 근거는 f(x)와 ㅣf(x)ㅣ의 차이가 f(x)<0인 때가 존재할 때 f(x)는 그대로 f(x)지만 ㅣf(x)ㅣ는 -f(x)가 되기 때문에 한 번 가정해보자는 데에서 나왔습니다!
감사합니다 ㅎㅎ 다른 ㄱㄴㄷ의 ㄱ은 걍 어거지로 풀리는 느낌이 있었는데 저 문제의 ㄱ은 막 무지성 어거지로 풀리는 느낌은 아니더라고요! 정말 재밌는 문제였습니다
아 그쵸 ㅋㅋㅋㅋ 보통은 당연한 것을 묻거나 참이라고 가정하고 상황을 살펴봤을 때 실제로 참이 되는 상황이 대부분인데 얘는 주어진 조건으로부터 직접 구간 [0, 1] 내에 f(x)<0인 구간이 없음을 확인해야 ㄱ이 참임을 확인할 수 있었으니
'막 무지성 어거지로 풀리는 느낌'이라는 워딩이 넘 재밌네요
보자마자 작년 9모 14번 생각남ㅋㅋㅋ
230914 제대로 학습해두셨나보군요 ㅎㅎ 멋지십니다
저거 머엿죠 5번이엇나...
네 ㄱㄴㄷ 모두 참! ㄱ은 [0, 1]에서 f(x)<0인 구간이 있는가, ㄴ은 직관적으로 파악해보거나 본문과 같이 파악해보거나, ㄷ은 1이라는 수치가 크게 의미하는 바가 없으므로 직접 계산
헉 정말 궁금했던 주제네요.
옛날에 현우진 뉴런에서 삼차함수의 최고차항 계수가 일정한 상태서 세실근을 가진다면
두근사이의 간격이 클수록 넓이가 커진다는 원리?를 배웠는데(우진t는 사차함수의 생성원리라 하더라고요.)
증명을 안해주셔서 이게 맞는지 긴가민가해서 안쓰다가 최근에 넓이 공식을 알게되서 증명해볼려구요
삼차함수가 세실근 갖고 최고차항 계수가 일정한 상황이면 절대적으로 참인거네여 좋은거 알았습니다
사차함수의 생성원리 ㅋㅋㅋㅋ 그럴싸해보이네요
교과서에서 직접적으로 배우지 않지만 풀이에 사용하는 모든 개념, 정리, 성질은 직접 교과서 내의 내용들로 증명할 수 있어야 쓸 자격을 갖추는 것이라 생각합니다! 물론 답 맞추는 데에는 일단 기억해두고 적용하는 것만큼 효율적인 방식이 없지만 수능 수학은 그래도 나름 사고력과 논리력을 요구하는 시험이니까요. 본문에 나타내두었지만 11가지 경우에 대해 적분 대소관계가 성립함을 직접 수식으로 증명해보시는 것, 아주 좋은 생각이라고 생각하는 바에 대한 생각을 밝히는 생각에 동의하는 생각입니다.