이런 생각을 어떻게 하죠..
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엄청 헤맸다가 답지 보고 풀었는데.. 힘드네요
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접선을 논하므로 접점의 x좌표를 설정할 필요가 있다. 접점의 x좌표를 u라 하고 방정식 y=f'(u)(x-u)+f(u)를 세웠을 때 이 직선은 점 (t, 4)를 지난다.
음함수 미분법에 의해 원 x^2+y^2=9 위의 점 (u, 어떤거) 에서의 접선의 기울기는 u^2+y^2=9를 만족하는 (u, y)에 대해 -u/y가 됩니다.
따라서 4=-u/y(t-u)+y와 u^2+y^2=9라는 식에 있어 u가 취할 수 있는 두 값을 a, b라 하고 그에 대응되는 y가 c, d라 한다면 우리가 구하고자 하는 f(t)의 값은 ab/cd가 됨을 확인하실 수 있습니다.
이후는 f(t)식을 작성할 수 있을테니 ㄱㄴㄷ 하나씩 판단하시면 될 듯?
접선 상황 -> 접점 설정으로 해결할 수 있음을 말하고자 했어요
답지 보기 전에 그렇게 했는데 4y=-kt+9에서 막히더라구요.. 노력해 봐야겠네요예를 들어 접점의 좌표를 (u, k)라 한다면 2개의 u값과 그에 대응하는 2개의 k값이 존재할 것이며 f(t)는 2개의 u값을 곱해준 것을 2개의 k값을 곱해준 값으로 나눈 값이 될 것입니다.
4k+ut=9의 양변을 제곱해 16k^2=(9-ut)^2 만들고 접점 (u, k) 이 원 위의 점임을 이용해 u^2+k^2=9로부터 k^2을 u^2에 대해 표현해 정리해주시면 u에 대한 이차방정식을 얻는데 여기서 두 실근의 곱이 바로 2개의 u값의 곱이 되므로 f(t)의 분자에 위치할 값, -63/(16+t^2)을 얻으실 수 있습니다.
이후 4k+ut=9에서 u값에 대응되는 k가 (9-ut)/4임을 알고 있으니 앞서 얻은 u에 관한 이차방정식에서 근과 계수의 관계 이용해 k값 또한 t에 대하여 정리할 수 있습니다. 그럼 f(t) 또한 t에 대한 식으로 정리할 수 있고 이제 ㄱㄴㄷ 판단하시면 됩니다! 말씀하신 4y=-kt+9에서 y를 k로, k를 u로 바꾸어 바라보시면 될 것 같아요.
깔끔한 풀이를 익혀가는 것도 중요하지만 결국 '현장에서 충분히 떠올릴 수 있는 자연스러운 생각'으로 계산이 조금 복잡하더라도 답을 내보는 훈련을 하는 것이 저는 가장 중요하다고 생각합니다. 이 문제는 접선 상황이 주어졌기에 '접점의 x좌표를 u라 해보자'와 같은 생각이 이에 해당한다고 생각했고 계산은 조금 복잡하지만 f(t)를 직접 t에 관한 식으로 나타내 정리해보실 수 있을 거예요!!
되네요 감사합니다~~ 최고의 답변이었어요아니면 사진 확인해봤는데 원에서의 접선은 원의 중심으로부터 원 위의 접점까지의 거리가 원의 반지름의 길이와 같음을 이용할 수도 있으니까 (실제로 수학(상)에서 원의 방정식 공부할 때 접선과 원을 연립해 이차방정식이 중근을 가짐을 이용하기보다 원의 반지름과 원의 중심과 직선 사이의 거리를 비교하는 방식을 더 자주 썼었죠!) [원에 접하는 직선이 나오면 원의 반지름과 길이 비교를 해보자]라는 생각을 익혀두시는 것도 좋을 듯요!