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(가), (나) 조건을 통해 f(x), g(x) 결정 가능. 직접 식을 작성해보면 정의역에서 무한 번 미분가능한 함수임을 확인할 수 있습니다.
1) 이계도함수를 구해보면 정의역에서 f''(x)>0가 항상 성립하고 g''(x)<0가 항상 성립하므로 f(x)는 아래로 볼록한 함수이고 g(x)는 위로 볼록한 함수임을 확인할 수 있습니다.
2) g'(x)를 조사해보면 x=-11/48에서 극댓값이자 최댓값을 가집니다. 따라서 g(-1/2)과 g(1/2)를 조사해봤을 때 g(-1/2)=0이고 g(1/2)=-1/2이므로 주어진 구간에서 g의 최솟값은 -1/2임을 확인할 수 있습니다.
3-a) t=-1/2일 때 구간 [-1/2, 0]에서의 g의 최솟값을 보는 것인데 앞서 g는 x=-11/48에서 최댓값을 갖는 함수임을 확인했기 때문에 g(0)의 값만 추가로 조사해보면 됩니다. 확인해보면 g(0)=0이 되어 g(-1/2)과 같은 값을 지님을 확인할 수 있습니다. 따라서 h(-1/2)=g(0)=0임을 확인할 수 있습니다.
3-b) g의 그래프를 예쁘게 그릴 수 있으면 편합니다. 하지만 위로 볼록하다는 사실과 x=-11/48에서 최댓값을 갖는다는 정보만 갖고는 그래프를 통해 무언가를 파악하기가 어려울 수 있습니다. 다행히 g(-1/2)=g(0)=0이고 h(t)가 간격이 1/2인 구간에서 g를 살펴보는 셈이기 때문에 t=-1/2를 기준으로 더 클 때는 g(t+1/2), 더 작거나 같을 때는 g(t)가 h(t)의 값이 될 것임을 알 수 있습니다.
g(t)는 t<=0에서 미분가능한 함수이기 때문에 연속입니다. 따라서 h(t)의 연속성 및 미분가능성을 조사할 때 우리는 함수식이 바뀌는 t=-1/2에만 관심을 가져도 되겠습니다. t=-1/2에서 h(t)는 연속입니다. g(-1/2)=g(0)=0임을 3-a)에서 발견했기 때문입니다.
미분계수의 정의에 따라 혹은 도함수의 연속성에 따라 미분가능성을 조사해보면 h(t)의 t=-1/2에서의 평균변화율의 우극한은 g'(0)이고 좌극한은 g'(-1/2)입니다. 계산해보면 g'(0)=-1/5이고 g'(-1/2)=1/7이기 때문에 두 값은 일치하지 않습니다. 따라서 함수 h(t)는 t=-1/2에서 미분가능하지 않습니다.
<풀며 든 생각>
0. 정의역을 통해 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖도록 한 후 하나를 f, 하나를 g로 배정한 아이디어가 재밌었습니다. 다만 수리 논술 문항을 여러번 접해본 분들이라면 익숙한 상황이라 느꼈을 듯합니다.
1. 어떤 함수 위의 점이라 함이 (x, f(x)) 꼴을 의미함을 발견하지 못했다면 f, g의 함수식을 결정하는 곳에서부터 어려움을 겪었을 분들이 많을 것 같습니다. 물론 이는 수리 논술 문항을 몇 개 접해본 분들이라면 쉽게 넘어갔을 것이라 생각합니다.
2. (다) 조건에서 왜 이계도함수가 존재함을 밝혔는지 궁금합니다. (가), (나)를 통해 f와 g의 함수식을 결정했다면 이계도함수가 존재함은 당연하게 확인할 수 있습니다.
3. 1)과 2)에서 g의 개형과 g(-1/2)=0을 발견하게 해두고 3-a)에서 g(0)=0을 발견하게 한 후 3-b)에서 1/2 간격으로 g를 관찰하도록 한 빌드업이 좋다고 느꼈습니다. 또한 [2023학년도 수능 22번]의 수식 풀이처럼 크게 머리 굴릴 필요 없이 계산으로 밀어버렸을 때 상황이 파악되고 답이 나온다는 점에서 전형적인 수리 논술 문항 감성의 문항이라는 생각이 들었습니다.
오르비에서 수학 자작 문제 살펴보다보면 대부분 수능 수학 감성의 문항들이 많이 보이는데 오랜만에 (수험생 분들도 시도해볼 만한) 논술 감성을 보아 반갑네요!! 재밌게 잘 풀었습니다
참고로 저는 g(-1/2)=g(0) 이용해 생각하기 귀찮아서.. 그냥 그래프 그려 직접 간격 관찰했습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ 현장에서는 불가하지만 재미삼아 풀어보는 것이니! ㅋㅋㅋ
풀어주셔서 감사합니다! ㅎㅎ 제가 생각한 답안은 댓글로 올려놓았습니다.
먼저 1번 문제에서 볼록성을 구한 이유는 위로 볼록인 함수의 최솟값은 양 끝점에서 얻어진다는 성질로 2번 문제를 간단히 풀도록 하기 위함이였습니다
이계도함수가 존재함을 조건으로 준 이유는 음함수의 도함수가 잘 존재함을 보장할 수 없다고 생각해서 조건으로 넣었습니다! 대학 해석학에서 음함수 정리라는 것이 있는데, 음함수가 잘 존재하는것, 도함수가 존재하는것은 당연한 것이 아니라 증명이 필요한 것이라서 논쟁의 여지가 없게 하기위해 조건을 넣었습니다
또한 3번에서 그래프가 볼록함을 통해서 그래프의 개형을 그려보면 함수 h는 함수 g의 그래프에서 -1/2부터 0까지의 부분이 없어진 그래프이고 개형에서 -1/2는 증가 0에서는 감소이므로 h의 그래프는 연속이지만 중간 부분이 뾰족한 그래프가 되어 미분 불가능한 점을 구할 수 있다는 문제였습니다! 전체적으로 잘 풀어주신것 같아요
다시한번 풀어주셔서 감사드립니다 ㅎㅎ
저의 답안입니다!
문제의 의도는 다음과 같습니다.
1번에서는 함수 f와 g를 음함수의 꼴로 준뒤, 각각을 음함수의 미분법으로 이계도함수를 구해 볼록과 오목임을 보이는 것이였습니다.
2번에서는 1번에서 구한 결과를 바탕으로 함수 g가 볼록이기 때문에 최솟값은 구간 양 끝점에서 존재하고, 양 끝점의 함숫값을 비교하여 푸는 문제였습니다.
3번에서는 g(-1/2)=g(0)을 이용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있고, 이를 통해서 함수 h의 그래프의 개형 또한 그릴 수 있습니다. 함수 h의 개형을 그리면 결과적으로 연속이며 뾰족한 그래프라는 것을 알 수 있습니다.
전체적으로 볼록성의 특징과 볼록한 그래프의 개형을 떠올려서 문제를 풀 수 있는지를 물어보는 문제였습니다!
문제에서 주어진 음함수는 포물선을 회전변환한 그래프이고, 그 때문에 f, g가 오목, 볼록합니다
오 포물선을 회전변환한 그래프인 줄은 몰랐네요! 제가 아직 선형변환, 회전변환에 익숙하지 않아서 발견하지 못한 듯합니다. 이계도함수 존재 조건을 준 이유는 f와 g의 식을 직접 작성하지 않고 f'와 g'를 바로 구하라는 이유에서였군요! 음함수를 떠올린다면 저는 문제 상황을 그나마 [2022학년도 6월 30번]처럼 '음함수처럼 보이나 직접 양함수로 정리 가능한 상황'으로 설명할 수 있을 것 같습니다. 다만 직접 f와 g의 식을 작성할 수 있다는 점에서 '과조건을 지워낸다'라는 맥락에서는 (다) 조건이 필요하지 않을 것 같습니다.풀이 잘 확인해봤습니다, 큰 틀에서는 비슷한 방향인 것 같네요! 개인적으로는 f와 g를 음함수로 해석해 f', g'를 바라보기보다는 (다 조건이 없었다면 음함수 정리를 적용해봐야하는) 직접 f와 g를 구해 접근하도록 하는 것이 수능 수학-수리 논술 문항의 맥락에서 더 자연스럽지 않았나 싶어요. 저는 처음에 (x, f(x))를 주어진 관계식에 대입해 정리하는 식으로 f, g를 구해내며 [2017학년도 수능 나형 30번]과 [2023학년도 수능 22번]도 떠올랐습니다. 덕분에 문제 재밌게 풀었습니다! 출제 의도와 출제자 풀이도 남겨주셔서 감사드려요
ㅎㅎ 좋은 피드백 감사합니다!