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책참 [1020565] · MS 2020 · 쪽지

2023-04-13 01:57:48
조회수 2,800
11

왜 수학2에서 극한부터 공부할까?

게시글 주소: https://orbi.kr/00062675655

우리는 왜 미적분에서 극한부터 배울까요?

결론부터 말하자면 미분가능한지와 (differentiable) 적분가능한지가 (integrable)

모두 극한과 관련되어 있기 때문입니다.

어떤 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하다는 것은 다음을 의미합니다.

$XGxpbV97aFx0byAwfSBcZnJhY3tmKGEraCktZihhKX17aH0gXCDqsIAgXCDsiJjroLQ=$

극한의 존재성을 보이는 것이죠!

이는 수학2나 미적분을 통해서도 고등학교 교육과정 내에서 친숙하게 볼 수 있습니다.

하지만 '적분가능성'에 대해서는 우리가 잘 언급하지 않습니다.

이유는 우리는 주로 연속함수만을 적분 대상으로 다루고 교과서에서도 그 정도로만 설명하기 때문입니다.

하지만 사실 적분도 가능할 때가 있고 가능하지 않을 때가 있습니다.

닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 어떤 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 적분가능하다는 것은 다음을 의미합니다.

$64ur7Z6MIFwg6rWs6rCEIFwgW2EsIFwgYl3sl5DshJwgXCBcbGltX3ttYXjEDERlbHRhIHhfaSBcdG8gMH0gXHN1bV97aT0xfV57bn0gZijEHF5cc3RhcinNLyDqsIAgXCDsiJjroLQ=$

간단히 설명하기 위해 우선 미적분에서 학습하는 구분구적법을 꺼내옵시다!

연속함수 f(x)에 대해 다음이 성립합니다.

$XGludF9hXmJmKHgpZHg9XGxpbV97blx0byBcaW5mdHl9IFxzdW1fe2s9MX1ee259IGYoeF9rKVxEZWx0YSB4$

이때 x_k와 delta x는 다음을 의미합니다.

$eF9rPWErXGZyYWN7Yi1hfXtufWssIFwgXERlbHRhIHg9eF9rLXhfe2stMX0=$

의미는 우리가 어떤 닫힌 구간 [a, b]를 n등분하여 각 등분된 구간의 길이를 밑변, 각 구간의 가장 큰 값에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이를 모두 합해 n을 양의 무한대로 보내는 극한을 취해주면 그것이 함수 f(x)를 닫힌 구간 [a, b]에서 정적분 한 결과와 같다는 것입니다.

참고로 이때 미적분학의 기본 정리 (FTC, the fundamental theorem of calculus) 에 의해 정적분값은 다음과 같을 것입니다.

$XGludF9hXmIgZih4KWR4PUYoYiktRihhKSBcIFxsZWZ0KEYnKHgpPcQfXHJpZ2h0KQ==$

자 이제 다시 원래 극한을 살펴봅시다. 만약 극한이 수렴한다면 다음이 성립합니다.

$XGludF9hXmIgZih4KWR4PVxsaW1fe21heCBcIFxEZWx0YSB4X2kgXHRvIDB9IFxzdW1fe2k9MX1ee259xDRfaSBeXHN0YXIpyy8=$

이때 delta x_i는 각 구간을 의미합니다. 다만 우리가 구분구적법에서 학습했던 바와 달리 구간을 굳이 n등분 할 필요는 없습니다.

그래서 극한도 n->inf가 아니라 구간 중 가장 길이가 긴 구간이 0으로 간다는 표현을 쓴 것입니다.

실제로 우리가 공부한 구분구적법에서 n->inf인 상황은 구간의 길이 (b-a)/n이 0으로 가는 상황을 의미합니다.

x_i 별 은 sample point로서 각 구간 delta x_i의 내의 어떤 x값을 의미합니다.

다시 말해 직사각형의 밑변이 delta x_i라면 높이가 f(x_i 별)이 되는 것이죠!

$XERlbHRhIHhfaTog6rCBIFwg6rWs6rCE7J2YxAy4uOydtCBcXMQhXlxzdGFyOiDKM8Yl64K0xgntlZwgXCB46rCSxDJmKMk0KTrJWMQws4QgIFwg7KeB7IKs6rCB7ZiVx0mGkuydtA==$

쉽게 말해 미적분에서 학습한 구분구적법에서 구간을 등간격이 아니게 설정하고,

직사각형의 높이에 해당할 부분도 구간의 왼쪽 끝이나 오른쪽 끝이 아니라 그 사이 어딘가의 함숫값으로 챙겨온다는 것이죠.

(이 이상의 구체적인 설명은 각자 유튜브, 위키백과 참고)

따라서 미분가능성은 우리가 다음의 극한으로 판단하고

$XGxpbV97aFx0byAwfSBcZnJhY3tmKGEraCktZihhKX17aH0=$

적분가능성은 다음의 극한으로 판단합니다.

$XGxpbV97bWF4IFwgXERlbHRhIHhfaVx0byAwfSBcc3VtX3tpPTF9XntufSBmKHhfaV5cc3RhcinLLQ==$

각각이 수렴할 때 우리는 다음과 같이 미분과 적분을 정의합니다.

$XGxpbV97aFx0byAwfSAgXGZyYWN7ZihhK2gpLWYoYSl9e2h9PWYnKGEpIFxcxQPFMW1heCBcIFxEZWx0YSB4X2kgx0Fcc3VtX3tpPTF9Xm4gZih4X2leXHN0YXIpyyw9XGludF9hXmLEISlkeA==$

사실 이렇게 한 다음에 이제 미적분학의 기본 정리에 의해서

$Uyh4KT1caW50X2FeeGYodClkdCBcIFx0byBcIFMoYSk9MCzECifEJ2YoeCkgXFzFA8YyYsYyPUYoYiktRihhKcQ8bGVmdCggRsszcmlnaHQp$

미분과 적분이 역연산 관계에 있음을 보여야 매끄러운 흐름이라고 생각하는데

구분구적법 설명하는 것도 머리 아파하는 학생이 대다수이기에

수학2에는 미적분학의 기본 정리로 정적분을 어떻게 계산하는지만 담았나 싶습니다.

뭐 그래서 '왜 수학2에서 극한부터 공부할까?'라는 의문이 들고

해결된다해도 '미분을 정의하기 위해서구나!'에서 끝날 것이지만 말입니다.

사실은 '적분을 정의하기 위해서'도 극한이 필요하기 때문에

우리가 미분과 적분을 공부할 때 극한부터 공부할 필요가 있다는 말을 끝으로

이번 글도 마무리해보도록 하겠습니다.

p.s. 이제 일주일 남은 전공 공부 좀 해야겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 현역 분들은 5월 교육청 모의고사 대비 파이팅, n수 분들은 6월 평가원 모의고사 대비 파이팅입니다! 물론 유일하게 중요한 것은 수능이지만요

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ΣΘ · 1223691 · 23/04/13 02:05 · MS 2023

호오

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책참 · 1020565 · 23/04/13 08:11 · MS 2020

재밌죠

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ΣΘ · 1223691 · 23/04/13 09:06 · MS 2023

재밌쥬

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micle 0483 · 816938 · 23/04/13 02:48 · MS 2018

나형 기준 미적1 공부해서 별 생각 없음

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책참 · 1020565 · 23/04/13 08:11 · MS 2020

아

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