우함수, 기함수 적분 성질 증명

우함수는 정의역 내의 모든 x에 대해 다음을 만족하는 함수를 의미합니다.

그래프를 그려보면 y=f(x)의 그래프가 y축 대칭임을 확인하실 수 있을 것입니다.

기함수는 정의역 내의 모든 x에 대해 다음을 만족하는 함수를 의미합니다.

그래프를 그려보면 y=f(x)의 그래프가 원점 대칭임을 확인하실 수 있을 것입니다.

대칭성은 그래프 개형을 파악하거나 계산을 할 때 직접 해결해야할 양을 줄여주기 때문에 무언가를 할 때 항상 먼저 떠올리시면 도움이 될 확률이 크다고 말할 수 있겠습니다. 또한 꼭 함수에 관한 이야기를 하지 않더라도 확률과 통계 문항을 풀 때 경우의 수를 쉽게 구하려면 대칭성을 고려하는 것은 핵심적인 사고과정이라 말할 수 있겠습니다, 사실 합의 법칙과 곱의 법칙도 수형도의 뒷부분이 같냐 다르냐를 구별하는 것이기에 대칭성에 대해 잘 이해하고 있는지를 묻고 있다고도 생각해볼 수 있겠죠!

우리는 수학2에서 다음과 같은 성질을 공부합니다.

즉, 우함수면 x=0에 대칭인 구간을 잡아 적분하면 그것은 절반만 해서 2배한 값과 같고 기함수면 적분값이 0이라는 것이죠.

대충 y=x^6이나 y=x^7 정도 생각해보면 직관적으로 성립할 것임을 알 수 있습니다.

혹은 미적분의 기본 정리를 통해 직접 계산해보아도 증명할 수 있겠죠.

참고로 미적분의 기본 정리란 다음을 의미하며, 정적분의 정의는 미적분에서 구분구적법을 학습해야 엄밀하게 보일 수 있기 때문에 (물론 이 또한 극한을 이용한 것이라 정말 엄밀하게는함수의 극한을 제대로 정의하는 방법인 입실론-델타 논법을 공부해야하겠지만요) 저는 수학2에서 소개하는 정적분의 정의를 '미적분의 기본 정리 (the fundamental theorem of calculus)'라고 부릅니다.

자 그럼 우함수일 때부터 위의 적분식을 증명해봅시다. 우선 대칭성을 활용하기 위해 구간을 끊어주고

이제 f(-x)=f(x)를 활용해봅시다

미적분에서 학습할 수 있는 치환적분법으로 다음의 치환을 해주면

적분식은 아래와 같이 변하겠습니다.

자 이때 우리가 y와 dy에 y는 더미 변수 (dummy variable), 다시 말해 최종값에는 등장하지 않고 y 대신 아무거나 써도 상관없음을 알고 있으므로

뭐로 잡든 상관이 없을 것입니다. 그럼 편의상 x로 잡아봅시다. 이제 원래 적분식에 집어넣으면

임을 보일 수 있겠습니다. 우함수일 때 증명 끝! 이제 기함수일 때를 봅시다.

마찬가지로 대칭성을 활용하기 위해 구간을 나눠주고 대칭성을 활용해줍시다.

마찬가지로 -x=y로의 치환적분을 해주면 증명 끝입니다.

따라서 우리는 치환적분법을 활용해 우함수와 기함수를 적분할 때 적분 구간이 x=0에 대칭이면(?) 각 값이 특수하게 결정됨을 확인했습니다. 물론 닫힌 구간 [-a, a] 꼴에서 적분한다고 무조건 '오! 기함수 아님 우함수겠다'라고 생각할 수 있는 것은 아니지만 대부분의 경우 그렇게 먼저 의심했을 때 계산량이 확 줄어들더라구요 ㅎㅎ (특히 평가원, 수능에서)

학습에 도움이 되었으면 좋겠습니다!

p.s. 참고로 제가 오르비에 공유하거나 남기는 자료는 제 과외 목적 등으로 활용하기 때문에 글을 보시는 분들도 모두 무단 이용하셔도 상관 없습니다. 뭐 애초에 공개적인 웹에 내가 무언가를 남긴다는 것 자체가 누구든 확인할 수 있으니 사용해도 할 말 없다는 뜻이기도 하지만 말이에요 (법적으로 문제가 되더라도 본인이 공개한 이상... 몰래 쓰여도 할 말 없으니)