수학이 막막한 친구들아 관점을 좀 바꿔봐

으헤헤 몰라몰라 로피탈을 벅벅

문과식 발상이 잘못된건 아닌데
수학 연구하는 것도 아니면서 굳이 입시수학 하는단계에 저런 창의력 넘치는 상상을 할 필요가 없음

문과식 발상이 뭐임?

농담조로 문과식 발상이라고 한건데
약간의 논리의 비약이 있는 발상으로 새로운 연구 주제를 만드는걸 말한거임

ㄹㅇ 뱃지가 몇개여..

수시정시 다챙기고 재수한건가

'왜 두 동점의 평균변화율의 극한이랑 한 정점기준 평균변화율의 극한이 서로 다르지?'라고 질문하는 것 논리 비약 맞지 않나요? 이 질문은 미분계수의 정의가

[동점이 정점에 한없이 가까워질 때 '동점과 정점'의 평균변화율의 극한]

라는 점에서 '왜 두 동점의 평균변화율의 극한이 미분계수가 아니지?'라고 질문하는 것과 같습니다. 다시 말해 '정의대로만 생각한다는 마인드'를 갖췄지 않았기에 발생한 판단의 오류와 같다고 생각합니다. 미분계수를 수학2에서 처음 학습할 때 우리는 초월함수 없이 다항함수 위주로 이야기를 이어가기 때문에

[동점이 동점에 한없이 가까워질 때 '동점과 동점'의 평균변화율의 극한]

또한 미분계수와 같은 값으로 수렴함을 쉽게 확인할 수 있긴 합니다만, 그것은 다항함수가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수이기 때문에 결과적으로 일치할 뿐 일반적인 함수에 대해서는 같은 값으로 수렴하지 않음을 쉽게 알 수 있습니다. '애초에 다른 개념을 같다고 전제'한 부분에 해당하며 여기서 '왜 다르지?', 다시 말해 B라는 상황을 갖고와서 왜 A가 아니냐는 의문을 품는 것은 글쓴이 분이 본문에서 '문과식 발상'이라는 표현을 사용해 말씀하신 논리 비약에 해당한다는 생각이 듭니다.

본문의 맥락에서 '문과식'이라는 표현이 '논리에 비약이 있으면 문과다'라는 잘못된 생각을 품고 있을 수 있기에 문제가 될 수 있다는 점에는 동의하지만 실제 확률과 통계 선택자 분들 중 많은 이들이 '그냥 간단하게 정의대로만 생각하'지 않고 '대충 외우고 비논리적으로 상상을 하고서는 아니 이거 왜 이러지? 하고 끙끙거리'신다고 느꼈습니다. 따라서 글 전체의 맥락에 초점을 둔다면 저는 큰 문제가 없다고 생각하는데 Art Nouveau 님께서는 이에 대해 어떻게 생각하시는지 여쭤보고 싶습니다.

30분 정도 댓글을 작성하고 있었는데, 너무 길어질 것 같아서 지금 못 쓰겠습니다. 제가 원래는 정말 한가한 사람인데 하필 갑자기 바빠져서 지금 당장 시간을 내기가 좀 그렇네요.. 며칠 내로 제 생각을 정리해서 남기도록 하겠습니다.

결론만 짧게 말씀드리자면
1. 원글의 일부를 제가 오독했습니다. 문제가 되는 그 질문에 대한 것인데요, 지금은 그 질문에 논리적 비약이 있다는 것을 인정합니다. 제 실수입니다.
2. 원글의 다른 주장은 처음 읽었을 때나 지금이나 동의하지 않습니다.
3. 원글 작성자분이 댓글로 어떤 종류의 발상을 '문과식 발상'이라고 부르며 '약간의 논리의 비약이 있는 발상으로'라고 하셨는데, 여기에 (문과 어쩌구 하는 것과는 별개로) 동의하지 않습니다. 다만 이건 제 생각을 충분히 정리하고 글을 길게 쓰다 보면 제 입장이 바뀔지도 모르겠습니다.

원글에서는 '다른 개념을 같다고 전제하고서' "왜 두 동점의 평균변화율의 극한이랑 한 정점 기준 평균변화율의 극한이 다르지?"라는 의문을 제기하는 것을 비판하였습니다. 저는 처음에 이 글을 보고 '문과식 발상'이라는 워딩에 버튼이 눌려 급발진한 상태였고, '다른 개념을 같다고 전제하고서'라는 단서를 놓치고 글을 읽었습니다. 그래서 "왜 두 동점의 평균변화율의 극한이랑 한 정점 기준 평균변화율의 극한이 다르지?"라는 질문을, "두 동점의 평균변화율의 극한이랑 한 정점 평균변화율의 극한은 어떤 경우에는 같은 값으로 수렴하고 어떤 경우에는 그렇지 않네. 왜 그럴까?" 정도의 의미로 이해하였습니다. 그래서 '저기서 논리 비약이 어딨음? 애초에 두동점평변극한=동점정점평변극한이라고 못박고서 왜 계산해보니 다르게 나오지 한 것도 아닌데? 걍 궁금해한 건데?'라는 댓글을 달았습니다. 풀어 쓰면, '두 동점 평균변화율의 극한이 한 동점-한 정점 평균변화율의 극한과 같은 것이라고 애초부터 못박아 두고서, 왜 같아야 하는 것이 다를까 하는 의문을 가진 것이라면 그건 논리적 비약이라고 할 수 있다. 그런 잘못된 전제를 깔지 않은 채로, 그러니까 두 극한이 서로 다른 것이라는 사실을 인정한 후에 같은 값으로 수렴하는 경우에는 왜 그렇고 다른 경우에는 왜 그럴까 하고 궁금해하는 것은 논리적 비약이 아니다.' 정도입니다. 결론적으로 제가 원글을 오독하여, 원글에서는 A가 논리적 비약이라고 하였는데 저는 A'은 논리적 비약이 아니라는 댓글을 단 셈입니다. 제 오독으로 인한 실수입니다. 원글에서 말한 대로 A가 논리적 비약이라는 점 인정합니다.

'정의대로만 생각'하면, 두 동점 평균변화율의 극한을 구하라고 할 때 미분계수가 답이 아닌데도 미분계수라고 답하는 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다. 다시 말하면, 섣부르게 틀린 결론을 내리는 것을 막아줄 수 있다는 것입니다. 그런데 '정의대로만 생각'하면, 두 동점 평균변화율의 극한이 미분계수와 같은 상황에서도 미분계수라고 답할 수 없습니다. '기본개념에 집착'했으니까요. 충분한 논리적 근거 없이 미분계수라고 답하라는 것이 아닙니다. 미분계수와 같음이 언제 보장되어 있는지를 알고 있으면 그렇게 쓸 수 있지요. 사실 저도 대충 미분가능하면 두 동점 평균변화율 극한과 미분계수가 같을 것이라고 생각하고 있었는데, 직접 따져 보니 (실제로는 어떨지 모르겠으나) 그런 확신이 없어졌습니다. 두 동점으로부터 정점까지의 x좌표 차를 f(t)와 g(t)라고 할 때, f(t)/g(t) 비의 극한이 상수로 수렴하거나, 양 또는 음의 무한대로 발산하면(이를테면 f(t)=t, g(t)=t^2, t→0) 두 동점 평균변화율 극한이 미분계수와 같은 값으로 수렴한다고 할 수 있겠습니다. 만약 그 비의 극한이 진동발산하면 어떻게 될지 모르겠습니다. 대충 생각해 보면 똑같이 미분계수로 수렴할 것 같기는 한데, 실제로 그러함을 보이지 않았으니까 그렇다고 단정할 수는 없지요. 아무튼 이 정도를 알고 있으면, 미분계수와 같은 값으로 수렴한다고 논리적으로 답할 수 있는 상황이 더 생긴 겁니다. 두 동점 x좌표의 비의 극한이 진동발산하는 경우를 묻는다? 그럼 그때 가서 더 계산하죠 뭐.

제가 논리적 절차를 무시하고 결론을 내리자는 얘기를 하는 게 아닙니다. '정의대로만 생각'하는 것은 보통 사람이 수능수학을 잘하게 되는 데 충분하지 않다는 겁니다. '두 동점 평균변화율의 극한'이라는 개념은 교과서에서 이름을 붙여 가며 다루고 있지 않지만, 어떤 경우에 미분계수와 같은 값으로 수렴하는지, 언제 그렇지 않은지를 알아두면 도움이 됩니다. 그 모든 케이스를 다 규명하자, 그러니까 '일반화'하자는 게 아닙니다. 알 수 있는 데까지는 알아두자는 겁니다. 1-h부터 1+h까지의 평균변화율 극한 같은 건 충분히 자주 물을 만하지 않습니까? 이 경우에 미분가능하면 미분계수와 같은 값으로 수렴한다고 자신있게 말하면 되고, 아직 확신이 없는 상황을 물으면 시험장에서 직접 해보면 됩니다. 시험장 들어가서 그 순간에 처음으로 고민할 상황을 줄이고 시험장 밖에서 두드려 본 돌다리를 만들어 두자는 겁니다. 그것도 너무 시간 오래 뺏길 필요는 없다는 데 동의하구요. 안 두드려 본 돌다리를 밟고 건너자는 게 아닙니다.

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댓글은 1000자까지만 작성할 수 있다고 해서... 적당히 잘라서 올립니다.

난 분명 입시수학 하는 단계에서라고 못 박았다

애들도 입시수학 얘기중임

네!

수학의 정석<<이과수학 기르게 해줌

인정

그 책에 저런거 설명 벅벅 해줘요?

아뇨, 설명운 안해주는데 왜인지
풀고 회독할수록 이과적 사고가 확장되는
수능에 적합하진 않아요

논술 느낌이네여

n년 전까지는 수학의 정석, 2024학년도 수능 대비 기준으로는 한완수가 '풀고 회독할수록 이과적 사고가 확장되는' 경험을 할 수 있는 수능 수학 대비 자료로 적합하다는 생각이 들어요

노베들은 그냥 좀 받아들일 필요가 있음
주입식이 필요함.. ㅋㅋ

ㅋㅋ 고등학교에서 순간변화율을 정의할 수 있는 여러가지 가능성들을 나열하고 각각의 개념들의 비동치성을 증명하는게 가능하다고 생각함?
뭐 특목고면 충분히 할 수는 있겠지만

난잡한 망상에 불과한걸 교육학적이라고 포장하지 말자ㅋㅋ ㅈㄴ 보기 안쓰럽다

그리고 추가로 말하자면 현우진t 강좌 뉴런에서 미분계수로 정의 되기 위한 조건과 두 동점의 평변의 극한이 다르다는걸 구분시켜주시면서 되게 강조하신거로 아는데 처음 개념 배울땐 헷갈려서 있는 그대로 받아들이는것만이 좋을 수 있지만 저는 그렇게 생각을 계속 하다보니까 트이는게 있어서 사바사 케바케지 어느 누구하나 정답은 아닌거같네요.

정의를 만드는 것과 배우는건 전혀 다른데 자꾸 잡소리 늘어놓네

관점의 차이로 그냥 작성자랑 생각이 다른사람들은 저렇게도 생각하는갑다 하면 되지 굳이 이런거 올려서 내말이 맞다 정치하고 게시글도 보니까 그냥 방구석 평가원장에 2등급 밑이면 독해력 문제가 있니 마니 하시는데 하루에 게시글만 3개4개 올리시고 여유롭게 공부하시는데 그렇게 말하실 정도면 24수능 만점각이네요

하아 그저 온세상이 문과다!

정의를 있는 그대로 받아들이고 암기하는 것은 수학 공부의 기본이자 시작이라고 생각합니다. 본문에서는 단순히 '개념 간 관계와 차이점 공통점 생각'하는 것을 비판한 것이 아니라 '개념을 공부해놓고 그로부터 이끌어낼 수 없는 것을 개념으로 이끌고 와 같지 않냐 의문을 갖는 것'을 비판한 것으로 비판할 만한 부분을 비판했다는 생각이 들었습니다. 논지를 잘못 파악하신 것 같은데 어떻게 생각하시나요?

최상위권으로 갈려면 생각의 확장이 필요한데 처음에 배울때부터 그렇게 배우면 생각의 확장이 굉장히 어렵다고 생각합니다

당장 성적 올릴때는 효과적일지는 몰라도 그렇게 수학을 접한 친구는 최상위권이 되기는 어려운거죠

과목의 특성상, 수학 증명을 작성할 때 쓰는 모든 논리는 엄밀해야 하는 게 맞지만, 그렇다고 새로운 생각을 하는 과정에서까지 엄밀함을 추구할 필요는 없다고 생각합니다. 일단 직관과 상상력으로 새로운 무언가를 만들고, 그것을 증명하는 과정에서 논리적으로 엄밀하게 만들면 결과적으로 문제가 없기 때문이죠. 실제로 우리가 유용하게 사용하는 미적분도 처음 만들어질 때는 유율법이라는, 전혀 엄밀하지 않은 방식에 기초했습니다. 이후 엡실론-델타 논법과 같은 방식으로 정당화된 것 뿐이죠.
우리의 목표는 새로운 수학적 이론을 세우는 것이 아닌 수능을 잘 보는 것이니 이런 과정이 필요가 없다고 하신다면, 어느 정도는 맞는 말입니다. 하지만 ’정의대로‘ 모든 판단을 내리지 않고, 때때로 엄밀하지 않는 생각을 사용하는 건 고등학교 수학에서도 도움이 됩니다. 예를 들어, 삼도극 문제를 풀 때 소위 ‘근사’라고 하는 방법을 이용하는 것이 있습니다. 목표가 논리적으로 완벽한 풀이를 작성하는 것이라도, 우선 근사를 사용해서 문제를 푸는 틀을 잡은 후 그 과정을 다시 엄밀하게 만드는 게 처음부터 정의에 따라서 모든 계산을 하는 것보다 쉽기 때문이죠.

저도 님이랑 생각이 같아요
다만 이 글의 취지는 수학적 상상력을 배척하자는게 아닌 어느정도의 명확한 판단 근거를 갖추자입니다.
고등학교 수학은 엄밀함과는 거리가 멀죠.
고교수학이 해석학정도로 엄밀해지면 절대 안된다고 생각합니다.
다만 고교수학에서의 논리를 올바르게 터득해야한다고 생각합니다.

아무도 해석학급으로 엄밀해지자고 한적 없는데 뭔소리심 님아

저는 엄밀하지 않게 수학을 공부하다보면 과거의 저처럼 애매한 공부를 이어나가 애매한 실력을 쌓게 될 것이라고 생각해 처음 배울 때부터 어느 정도 엄밀함을 추구할 필요가 있다고 생각했습니다. 그런데 말씀 듣다 보니 '우선 엄밀하지 않더라도 편한 방법을 사용해서 문제를 푸는 틀을 잡은 후 그 과정을 다시 엄밀하게 만드는 게 처음부터 정의에 따라서 모든 계산을 하는 것보다 쉽'다는 점에서 과거의 저처럼 공부해가는 방식도 그리 나쁘지 않을 수 있겠다는 생각이 듭니다. 과외생 수업 진행할 때 참고해야겠네요, 감사합니다!

저도 과외받고싶어요ㅜㅜ

네? ㅋㅋㅋㅋ 진지하게 하시는 말씀이면, 비대면도 괜찮으시다면 쪽지 바랍니다.

아.. 글 목록 보니까 농담이었던 것 같네요 ㅋㅋ

ㅋㅋ사람이 컴퓨터임? 공부할때 아 그렇구나 그렇구나 하면서 텍스트만 딱딱 기억하게? 뇌는 무의식중에도 생각을 해서 그냥 정보를 받아들이면 뭔가 궁금증이 생기게 되어있는 구조임

개념을 명확히 안해도 강 문제풀면ㅊ알아서 뇌에 적립됨

왜 두 동점의 평균변화율의 극한이랑 한 정점기준 평균변화율을 극한이 서로 다르지? 라고 질문 → 두 동점 간의 평균변화율의 극한과 한 정점과 동점 간의 평균변화율의 극한의 차이점/프로세스에 대해 공부하게 됨 → 개념의 정의를 제대로 이해하게 됨

이렇게 제대로 이해하지 못했던 것들을 잘 이해하고 받아들일 수 있게 되는 중요한 한 과정의 시작이 저런 질문들인데 이걸 문과식 발상이니 정의대로만 생각해야 한다느니같은 이상한 사족을 왜 붙이는 거임?


그리고 애당초 왜 두 동점의 평균변화율의 극한이랑 한 정점기준 평균변화율을 극한이 서로 다르지? 라고 질문하는 것부터가 개념의 정의를 제대로 이해하지 못한 건데, 이거에 대해서 개념의 정의를 제대로 배워놓고 왜 그 둘의 동치관계를 증명하고 있냐고 따지면 뭘 하겠다는 거임?

언제 같은 값을 가진다고 일반화할 수 있지? 같은 질문 역시 이미 현우진이 해서 뉴런에 실어둔 거고, 다른 건 모르겠지만 이미 뉴런을 제대로 공부했으면 해결됐어야 하는 거니까 이런 질문을 하는 것마저 아직 개념을 정확히 모르는 거임.


정의대로만 생각하면 수학은 막히지 않는다. 라는 생각을 일깨워줄 수 없는 예시란 거고, 대충 외우고 비논리적으로 상상을 하고서는 아니 이거 왜 이러지? 하고 끙끙거리는 상황이 아니기 때문에 이런 상황을 탈출하는 방법을 제시해주지 못한 글임.

자기가 무슨 소리를 하는줄도 모르고 개소리 벅벅 우기지 좀 말어라;;

정의대로 생각을 한다면
"두 동점의 평균변화율의 극한은 미분계수의 정의가 아니기 때문에 미분계수와 같은 값을 가질 수는 있겠지만 항상 같을 가진다고 보장할 수 있는지 없는지는 알 수 없다" 라고 결론이 나야됨

어그로성공

한완수에서도 이거 자세하게 얘기해주는데 흠

저게 중요한 게 아니고 그냥 넘어가도 되는 문제면 대체 왜 한완수에서는 파트1과 파트2 두 파트에 걸쳐서 계속 다뤄주는 것임?

많은 학생들이 오해하니까

정신승리 ㅎㅇㅌ

아니 그래서 백분위 몇임 궁금해서 그런데

그님대가 절로 나오는

나랑 생각이 정반대네 수학 공부할 땐 아무리 사소한 것도 스스로 질문해봐야한다 생각하는데 정의라면 왜 이렇게 정의했는지,정리라면 어떻게 유도됐는지 이런거 ㅇㅇ

그걸 적절한 수준에서 끊을 필요는 있음 근데 닥치고 외워<=이건 잘못됨

아몰랑 난 수학이 젤 개같았음 ㅡㅡ

근데 저런 의문들이 개념 공부할때마다 들어서 시간을 자꾸 날림 그걸 알면서도 그 의문을 해결하지 못하면
다음 개념도 잘 이해가 안가고 찝찝함

가성비 ㅆㅅㅌㅊ ㅋㅋ

그래서 선생이 중요한거임.

만약에 아이가 저런 질문을 했을 때, 아이의 수준을 보고 적절한 답or예시를 주면 이해하고 넘어갈 수 있음.

최소한 기존의 킬러 문제들은 기존 개념들의 바리에이션이었기 때문에 개념의 여러가지 부분을 건들이는게 중요하다고 생각함. 물론 혼자 해보고 답 찾으면 가장 좋지만, 안되니깐 사교육비 내는거고

의대생인데 수능은 궁금증 생기면 한 2-3일 정도 붙들고 있는 거 좋아요 모르겠으면 다음주에 다시 보고 그렇게요 그런데 이미 메디컬 왔으면 의문 갖지 말고 보이는 대로 외우세요...

붙들 시간이 없다..

그런 사소한 의문이 해결되지 않은채로
받아들여버리면 똑같은 의미인데 다른
형태로 나온 식이나 거기서 확장된
잠재적 개념을 이해못하지 않음?

예를 들어 현우진이 선대칭 가르칠때 하는
정의역의 합이 일정한 함수들은
정의역 합/2 에서 선대칭을 이룬다
라는 명제는

f(-x)와 f(x+a)에서는 성립하지 않음;;

이런식으로 게속해서 의문을 던지고
해결해나가는 과정이 필요하다고 생각하는데

ㅋㅋ명문대생들은 다 붙들고 생각해보라고 하네...

막줄 혹시 본인한테 하는 얘기임? 자아성찰 굿이네

그님대?

수학에 트집잡지 말라

수학몇점인지 궁금 비난은 아니고ㅇㅇ

32점

이거 울 학원쌤도 말하던데

이 글이 정말 맞는 말을 하고 있는 게 저도 처음에 미분계수 정의 배울 때

[동점이 정점에 한없이 가까워질 때 '동점과 정점'의 평균변화율의 극한]

을 미분계수로 정의한다는 점에 초점을 두지 않았었거든요. 그러다 보니 한 동점이 다른 동점으로 한없이 가까워질 때 동점과 동점 사이의 평균변화율의 극한도 미분계수가 된다고 생각했고 (수학2에서 미분계수의 정의를 처음 배우는데 수학2에서는 주로 다항함수를 다루기에 동점끼리로 잡아도 평균변화율의 극한이 항상 수렴하죠) 계속 오개념을 잡아오다가 고등학교 3학년 1학기 때 한완수 공부하며 처음으로 제대로 된 정의를 배웠던 것 같습니다.

이때 과거의 제가 범했던 오류가 무엇일까요? 본문에 '정의대로만 생각한다는 마인드를 가져야'한다는 말을 따르지 않았기에 '논리적'이지 못했고 따라서 '시간 헛날리고 오류로 빠지는 것을 예방'하지 못했던 것이죠. 직접적으로 말할 때 오류는 '정의대로만 생각한다는 마인드를 가'지지 못했던 것일텝니다. '대충 외우고 비논리적으로 상상을 하고서는 아니 이거 왜 이러지? 하고 끙끙거'리던 것이 고등학교 2학년 때 까지의 제 모습이었고 '판단의 기준을 제시' 받은 후에야 제대로 된 실력 향상을 이루기 시작했던 것 같습니다. 저의 경우 이 '판단의 기준'을 세우기를 한완수와 한성은 선생님께 도움을 받아 할 수 있었고요.

따라서 [헷갈리는게 있으면 그건 기본개념에 충실하지 않았기 때문인 것이기에, 기본개념에 집착해서 논리적으로 생각]하여 헷갈리는 것을 바로 잡을 수 있다는 본문의 뜻에 전적으로 동의합니다.

수능성적표 인증하고 올렸으면 설득력이 배가 되는데

아직 수능을 안봤어

???

현역인갑지

네?? ㅋㅋ