0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
게시글 주소: https://orbi.kr/00062600708
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수학이 좆도 암풀리잖아. 이걸 어케 43일만에 2로 만들어. 스발
-
ㅋㅋㅋ
-
오비탈같은거는 나열해서 풀고있고 주기성은 그 때 그 때 생각나는대로 푸는데 문제를...
-
20대 남성분들 중 절반이상은 여시 N번방 사건, 알페스 사건, 동탄경찰서 여청과...
-
민지시구 ㄷㄷ 1
-
등급컷 어떻게 나왔을거같나요?? 확통 88 미적 84정도일까요?
-
현재 고2를 재학중입니다. 이제 고3으로 올라가서 과탐 선택과목을 선택해야하는데...
-
냄새가우리집에도가득해짐.. 창문닫아둘걸,,
-
ㅂㅂ
-
현역이고 수1수2는 다 끝냈지만 미적분만큼은 겨우 기출 좀 돌렸고 그 기출 마저도...
-
진지하게 공부가 적성에 안맞아서 그만두신분 계신가요? 2
오늘 9평 성적표를 받았는데 씁쓸하네요..65446..학원에 있는분들은 다 집중도...
-
최다가채점인원수로부터 도출되는 정확성goat 국내 유일무이 업체 어디감 국어랑 탐구...
-
둘 중 뭐가 더 어려우셨나요 다른 실모들은 그래도 작수에 비해 점수 좀 오르긴...
-
안녕하세요!! 지금 사문 최적샘 들으면서 개념완성 코어 강의, 약점공략특강,...
-
9회92였는데 10회 80됨 ㅠㅠㅠㅠㅠ 근데 컷이 이상해여
-
최근 입시에 관심이 없었어서 잘 모르는데 이거 이번에만 이변이 일어난건가요 아니면 기하붐이 온건가요
-
해설에서 (나)와 b 사이의 GC쌍의개수를 x (나)와 c사이의 GC쌍의 개수를...
-
그래도 수학 3등급 스타트
-
9평 성적 받음 3
원점수 화작 97 미적 72였음... 요새 목표는 탐구 올리는거라 하루에 탐구...
-
김준이 1컷 50만들기 전에 의대갔어야 했는데...
-
제가 원래부터 국수를 탐구만큼은 못하긴 하는데... 대충 수능도 여기서 국수 조금...
-
???:사회문제에 왜 수학이 나와? 이xx가 점수 떨어지게...
-
과거 미국 남북전쟁에 관련된 칼럼을 쓰는데, 당시 북부 군인들은 '흑인 노예들의...
-
9모 30번 정답률 8퍼네 시간 많이 남았다고 쳐도 잘하는 사람들이 많구나
-
통장잔고 없어서 3
유튜브 프리미엄 끊겼네...하...
-
강e분 독서3가 자습용 교재라고 하던데 교재 내용이 어떻게됨? ebs소재를...
-
텔로스(telos), 내재적 원인(카타 하우톤), 목적론적 접근법 사인설(四因說),...
-
국수영탐탐 11114
-
뭐냐이거? 7
2년하면서 처음보는데 게임이냐 ㅋㅋ
-
이감 독서론 0
ㅋㅋㅋㅋㅋ 저만 풀 때마다 하나씩 틀리나요?
-
강제징용이랑 직업을 왜 비교하는지 모르겠네 ???: 그럴빠엔 병사하죠 어차피...
-
통통이 2등급인데 2개 다 풀면 좋겠지만 일단 하나만 추천부탁드립니다. 딴 것...
-
흑자헬스 2
보는거 어떻게 생각함?
-
불안할수록 자주 마시는듯
-
과잠에 고등학교 이름 넣은거보고 꼴값이라 생각하는것도 개인의 자유임
-
교육청은 항상 그럭저럭 봤었는데 7모때 2등급 상위권 하고 9평에서 피크찍음 ps...
-
이감 풀면 0
뛰쳐나가고 싶어짐 ㅅㅂ 문학 ㅈㄴ 어렵네.. 수능때 이 점수로 나오면 어카지...
-
오늘도 오르비 눈팅하는 평 가원 물1 선택자들이 등급컷 때문에 힘들다며 사탐런...
-
라인 잡아주실분 1
9평기준 백분위(원점수) 화작 미적 영어 사문 한지 93(98) 98(97) 2...
-
물1 46점이랑 물2 19점이랑 같은 등급..
-
수능에서 시험 전 합법적으로 맨 뒷페이지 문제 구경할 수 있음 (아주 살짝 흐릿하게 보임)
-
그걸 왜 나한테 물어봐 마닳이든 피램이든 스스로 해보쇼
-
어느회사 모티브임?
-
왜 강e분 독서2 부교재에 독서3가 있는거임?
-
공교육에서 안가르치지 않나?
-
푼동님?
-
원래 목적은 문화의 전파를 설명하는 거였지 meme을 왜 메메로 안 읽냐고도 하던데...
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿