함수의 미분가능성과 도함수의 연속성 (ft. 2023학년도 3월 20번)
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함수 f(x)가 x=a에서 미분가능한지를 조사할 때는 함수 f(x)의 x=a에서의 순간변화율이 존재하는지를 미분계수의 정의를 활용해 조사해야합니다. 이는 평균변화율의 우극한과 좌극한을 조사해 각각이 수렴함을 확인하고 그 수렴값이 일치한다면 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하다고 말할 수 있습니다.
(가) 조건은 함수 g(x)가 x=0에서 미분가능함을 의미합니다. 이는 미분계수의 정의에 따라 f(x)의 x=a에서의 평균변화율의 극한이 존재한다면 그것을 f'(a)라 하기로 했기 때문입니다. 이후 아래와 같은 과정을 통해 f'(p)=f'(-p)=0을 얻을 수 있습니다.
이처럼 구간 별로 정의된 함수에 대하여 우리는 x<a에서는 g(x)로 x>=a에서는 h(x)로 정의된 함수 f(x)가 다음을 만족할 때 g'(a)=h'(a)가 성립하는지 여부로 미분가능성을 조사할 수 있습니다. (정확히는 아래 조건을 만족하면 f(x)가 x=a에서 미분가능하다는 조건을 g'(a)=h'(a)와 g(a)=h(a) (미분가능하면 연속이므로) 로 활용할 수 있고 조사할 때는 1번만 만족하면 g'(a)=h'(a) 여부를 확인하면 됩니다. 성립하면 f(x)가 x=a에서 미분가능한 것이고 성립하지 않는다면 미분가능하지 않은 것이라고 이해할 수 있습니다.)
1. g(x)와 h(x)가 x=a에서 미분가능
2. f(x)가 x=a에서 미분가능
증명은 미분계수의 정의를 활용해 쉽게 보일 수 있고 만약 필요하시다면 댓글 남겨주세요. 제가 예전에 오르비에 올려뒀던 수학2 실전 개념 증명 파일을 공유해드리겠습니다.
그런데 도함수의 연속성을 통해서도 미분가능성을 조사할 수 있을 때가 존재합니다. 함수 f(x)의 x=a에서의 미분가능성을 조사할 때 다음을 만족하면 f'(x)의 x=a에서의 연속성을 통해서도 미분가능성을 조사할 수 있습니다. (다음을 만족할 때, f'(x)가 x=a에서 연속이면 f(x)가 x=a에서 미분가능하고 불연속이라면 미분 가능하지 않습니다.)
1. 함수 f(x)가 x=a에서 연속
2. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 f'(x)가 연속
3. x=a에서 f'(x)의 우극한, 좌극한이 존재
위의 미분계수의 정의를 이용해 구간 별로 정의된 함수의 미분가능성을 쉽게 조사하는 실전 개념을 저는 '구간 별 함수의 미분가능성'이라 부르고 아래의 도함수의 연속성을 통해 조사하는 실전 개념을 저는 '구간 별 함수의 미분가능성2'라 부릅니다. 이는 2022학년도 수능 대비 한 권으로 완성하는 수학 (한완수, 저자: 이해원) 에 사용된 표현을 그대로 기억한 것입니다.
매년마다 구간 별로 정의된 함수의 미분가능성 조사를 도함수의 연속성으로 해결하라고, 조건 안내 없이 가르치는 분들 덕분에 이렇게 제대로 정보를 전할 수 있는 기회를 갖고 있습니다. 아직 확인하지 않은 분들은 이 글을 읽어보시고 앞으로 구간 별 함수의 미분가능성을 조사할 때 활용하시면 좋겠습니다.
읽어주셔서 감사합니다!
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*본문의 '구간 별 함수의 미분가능성'과 '구간 별 함수의 미분가능성2'에 대한 설명은 2022학년도 수능 대비 한완수를 참고하였음을 밝힙니다.
참고로 도함수의 그래프가 다음과 같이 x=a에서는 연속이나 x=a에서 우극한과 좌극한과 함숫값은 존재하나 셋이 일치하지 않아 불연속일 때는 존재할 수 없습니다.
이는 다르부의 정리에 의해 설명 가능한데 이는 아래의 영상을 참고해보시면 학습에 도움이 될 것으로 생각합니다.
https://youtu.be/fI-sZ159k1A
좋은 글 감사합니다 사람들에게 수학에 조금이라도 관심을 갖도록 이렇게 매번 글써주시는 것 좋다고 느끼네요 저도 다시 한번 상기차원에서 읽었는데 글빨이 좋아서 그런지 술술 읽혔습니다 감사합니다!!읽어주셔서 감사합니다! 중요한 건 우맹 님이 충분히 납득하셔야할텐데..
미분가능성과 도함수... 오르비 수학에서 엄청 자주 도는 떡밥인 것 같아요.
예전에 저런 제거 가능 불연속점 갖고 얘기하는 글을 본 게 다르부 정리에 대해 흥미를 느끼게 한 계기기도 하네요.
참고로 도함수의 극한은 존재하지만 그 함숫값이 존재하지 않는다면 원래 함수가 미분가능인 경우가 '존재'할 수 있습니다. 그 유명한 x^2sin(1/x)이 있죠.
저도 항상 y=x^2*sin(1/x)를 '도함수의 극한이 존재하지 않지만 원래 함수가 미분 가능한 상황'의 대표 사례로 잡아 설명하는데 그럼 항상 '그거 어차피 수능에 안 나오잖아요!' 하는 분들이 계셔서.. 요샌 굳이 언급 안하는 듯합니다 ㅋㅋㅋ
수리논술이나 임용고시에서 본 적은 있어서 사고력을 위해 배제하는 건 좀 그렇다 생각하긴 해요
근데 저걸 말로 제대로 설명하기가 좀 까다롭긴 하죠
도함수가 불연속이면서도 그 점에서의 값이 존재하지 않아야만 한다는 특성이 있기도 하고, 초월함수 내에서는 저 식 말고 다른 예를 본 적이 없네요
맞아요 저도 그래서 제대로 수학 공부하시는 분들이라면 모두 알고 있어야 할 반례 (도함수의 연속성으로 원함수의 미분가능성을 조사할 수 없는) 라고 생각합니다. 의견 공유해주셔서 감사합니다!
근데 저도 저거 말고 다른 사례를 아직까지 본 적이 없네요 ㅋㅋㅋㅋ
초월함수 아닌 사례는 본 것 같은데 초월함수는 더 있나 모르겠네요...
제거 가능 불연속점은 점프 불연속점과 달리 직관적으로 바로 미분가능한 함수의 도함수가 될 수 없다는 걸 납득하기 힘들 수 있을 것 같아요
동의합니다 사실 저도 설명하는 입장이니 '이런 논리로 이렇게 된다' 정도를 전할 수 있지 완전히 감각적으로(?) 이해하고 있는 것 같진 않아서요 ㅎㅎ..
초월함수 아닌 사례는 혹시 기억 난다면 알려주실 수 있을까요? 궁금하네요
정확히는 x=/0일 때 x^2*sin(1/x)로, x=0일 때 0으로 정의된 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하지만 f'(x)가 x=0에서 불연속이죠
한완수 중 에서 엄청 강조하던 내용이네요!!
오 맞을 거예요 ㅋㅋㅋ 저는 정확히 어디있는지 기억이 안 나서 조금 아까 하 에서 확인했어요
오오오 이제 이해된 거 같습니다!!
책참님의 글을 다시 읽고 유튜브 영상을 보니 제가 존재 할 수 없는 걸 있다고 생각하고 있었네요.
긴 답변과 게시글까지 정말 감사합니다
다행입니다!! 도움을 드릴 수 있던 것 같아 저도 뿌듯하네요 ㅎㅎ
사실 대부분의 수험생 분들이면 그냥 '그런가보다~'하고 넘어갈 수도 있는데 이렇게 직접 '이렇게도 될 수 있지 않나?'하는 고민하시는 모습이 보기 좋았습니다. 저도 고등학교 3학년 때 그렇게 하나하나 학교나 학원 선생님께 물어보고 다녔던 기억이 떠올라 이렇게 도와드리고 싶었네요 ㅋㅋㅋㅋ 그럼 내일 하루도 파이팅입니다!
넵!! 정말 감사합니다!!!!!?
'볼테라 함수'가 정의역 전체에서 미분가능하지만 그 도함수는 리만 적분이 불가능하다고 하네요. 제가 전공자는 아니라서 잘 모르지만 저 초월함수의 도함수의 불연속점과 비슷한 점이 비가산 무한 개 있으면 된다고 이해했어요.
(유계 함수가 리만적분 가능하다는 것과 불연속점의 르베그 척도가 0인 것이 동치라고 알고 있습니다)
감사합니다, 찾아보겠습니다. 셀 수 없는 무한 같은 개념은 수학과 가야 배운다고 들었었는데 한 번 공부해봐야겠네요 ㅋㅋㅋ
가산 무한은 자연수의 크기보다 큰 초한기수라고 집합론에서 대각선 논법 같은 내용 혼자 찾아보면서 익혔던 것 같아요제대로 수학 공부하면 측도론에 대해서도 배워 보고 싶긴 하네요(어려워 보이지만)
오 슬쩍 찾아봤는데 재밌어 보이네요..! 선형대수 초반에 벡터 공간 공부하면서 n차원을 시각하는 것에 대해 많이 궁금해했었는데 이와 관련 있어 보여요. 근데 초한기수, 측도 이런 거 찾아보니 역시 수학과 전공 과목은 수업을 듣기보다 그냥 홀로 공부해보며 질문만 해결하는 게 낫겠다.. 싶네요 ㅋㅋㅋㅋ 원래 수학과나 물리학과 복수전공 하고 싶었는데 그냥 다음 학기에 선형대수 듣고 통계학과 노려봐야겠습니다
저는 아직까진 의예과 지원해서 수학 복전을 해 보고 싶네요 ㅋㅋㅋㅋ한완수 공부하면서 엄청 중요하다고 느낀게 바로 무지성으로 쓰던 구간함수의 미분가능성, 미분가능성을 도함수의 극한으로 확인하는걸 스스로 증명해나가는거였죠. 가끔씩 저걸 제대로 증명해보지 않았으면 피보는 문제도 사설에서 풀어서 더 중요성을 알게된 것 같아요.
맞습니다, 구간 별 함수의 미분가능성뿐만 아니라 단순히 '이건 이렇게 하면 돼!'식의 교육 방식에서 벗어나 '이건 왜 이렇게 될까?'를 생각해보고 증명해보도록 도와주니 저도 좋은 자료라고 느꼈습니다. 사실 개념서 포지션으로만 바라보면 최근에 '맑은개념'과 같은 교재가 훨씬 저렴하고 설명 방식은 비슷한 듯해 (세세해보이더라구요, 물론 불필요하다 생각하는 용어들도 다수 들어가있어 '너무 이것저것 다 정의하는 게 아닐까?' 싶긴 했다만) 한완수 대신 사용해도 괜찮겠다는 생각이 들었는데 이러한 사고과정 정리, 필연성 부여를 포함해 수능 수학을 공부하다가 맞이할 수 있는 애매한 상황들에 대한 명백한 설명을 얻을 수 있다는 점에서 저는 지금도 값어치를 한다는 생각이 듭니다.
보통 제가 과외생 분들 수업할 때 수학을 처음 제대로 공부하고 가르치는 상황이라면
개념 접하기 -> 개념 익숙해지기 -> 개념 활용, 문제풀이양 확보 -> 개념 복습, 사고력 향상 -> 개념 복습, 사고력 향상, 경험 쌓기
쎈 -> 마플 교과서 -> 마플 수능기출총정리 -> 한완수 -> 한완수(병행) + n제/실모 (ebs 연계교재 (수능특강, 수능완성), 써밋 n제, 지인선 n제 등)
의 순서로 방향을 잡곤 하는데 (오르비에서는 생소한 교재도 있을 수 있지만 제가 공부했던 자료들만을 수업에 활용하다보니.. 이렇게 되었네요) 올해도 저 문제풀이양 확보 다음 단계에 활용할 자료로 한완수를 택해야겠다는 생각이 드네요 ㅎㅎ