codim 1 fol

만약 $\mathfrak{F}$ 가 3-manifold $M$의 codimension one foliation이라고 할 때, 만약 어떤 embedding $\varphi:S^1\times D^2\to M$이 있어서 $\varphi|S^1\times\{x\}$가 각각의 $x\in D^2$에 대해서 $\mathfrak{F}$와 transverse하고 각각의 $\theta\in S^1$에 대해서 $\varphi(\theta\times D^2)$가 하나의 leaf에 들어간다고 하자. 그러면 소위 Turbulization이라는 것을 할 수가 있는데, $\mathfrak{F}$를 solid torus $\varphi(S^1\times D^2)$에 대해서 약간 바꾸고 그 외에는 바꾸지 않는 프로세스임. Andrew Wallance라는 사람이 다음과 같은 정리를 보였는데:

> Let $M$ be a compact, connected, orientable manifold of dimension three. There exist embedded, disjoint solid tori $T_i$ in $M$ and $T_i$'s in $S^3$ for $i = 1,\ldots,n$, such that $M -\bigcup_{i=1}^nT_i$ and $S^3-\bigcup_{i=1}^n T_i$'s are diffeomorphic.

이걸 이용하면 어떤걸 보일 수 있는데: 만약 $M$이 compact, orientable manifold of dimension three라고 했을 때, 위에 정리에서의 tori들 $T_i$들을 $S^3$의 Reeb foliation과 transverse하게 잡을 수가 있는데, 이 상황에서 turbulization을 하게 되면 $S^3-\bigcup_{i=1}^nT_i$의 $C^\infty$ foliation을 얻게 됨. 여기서 각각의 $\partial T_i$들은 $T^2$와 diffeomorphic한 leaf들. 그러면 위의 정리에 의해서 이 foliation이 $M-\bigcup_{i=1}^n T_i$으로의 foliation을 induce하게 됨. 그러면 이제 각각의 solid torus $T_i$에 Reeb foliation을 집어 넣으면 $M$의 foliation을 얻게 됨. 따라서 모든 compact orientable manifold of dimension three는 codimension one인 foliation을 항상 갖는다는 것을 알 수 있음.

* 댓글로 레이텍 렌더링한거 요청하면 캡쳐해서 올려드림.