역삼각함수를 미분하면 유리함수가 나오는 이유

Question

미적 치환적분 문제를 풀다보면 삼각치환을 통해서 역삼각함수를 미분했을 때 유리함수의 형태가 나온다는 걸 알게 되는데

역삼각함수를 미분할 때 y = sin⁻¹(x)에서 x = sin(y)로 놓고 푸는 방법이 있긴 하지만 역삼각함수의 도함수가 유리함수 꼴로 나오는 좀 더 직관적인 이유는 역삼각함수가 로그함수이기 때문인데요.

일반적인 로그함수는 아니고 로그함수에 복소수가 들어간 형태로 나타내어지는데

살면서 한번 쯤은 봤을 법한 오일러 공식을 이용하면

지수함수와 삼각함수가 이런 관계가 있다는 걸 알 수 있고, 이 식을 적절히 변형하여 다음과 같이 삼각함수를 지수함수로 표현하면

삼각함수 ↔ 지수함수 의 관계를 통해 역삼각함수 ↔ 로그함수 의 관계를 유추할 수 있습니다.

그래서 실제로 역함수를 구해봤을 때 역삼각함수가 로그함수의 형태로 표현되어진다는 것을 확인할 수 있고

(로그함수에 -1이나 허수i가 있는게 이상하다고 생각하시는 분들은 복소로그함수에 대해 찾아보시길)

그나마 계산이 간단한 역탄젠트 함수를 미분해보면

이런식으로 우리가 이미 알고 있는 결과와 일치하는 걸 볼 수 있죠.

안궁금하실 수도 있는데 저는 역삼각함수를 처음 알게 됬을 때 미분하면 유리함수가 나오는게 상당히 신기했었어서 저와 같은 궁금증이 있으셨던 분들은 도움이 되었으면 좋겠네요.

추가적으로 위의 식들을 이용해서 로그함수를 이렇게 역으로 역삼각함수로 나타낼 수도 있습니다.

물2하는농어촌 · Accepted Answer

이거 궁금해한건 어떻게알고 구글이 추천해준거지

떽띠송우기ㅤ · Answer

무작정 외우기만 했었는데 과정을 보니 역시 무작정 외우는 수밖에 없군요;;

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