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나는 너로 다시 물들고 [1218107] · MS 2023 · 쪽지

2023-03-11 20:50:15
조회수 2,725

수2 자작 문제 해설

게시글 주소: https://orbi.kr/00062379400

수2 자작 문제(하이퍼링크)





특수각 45도에 대해서 f(x), y=x, y=-x는 이렇게 나타난다.

y=-x가 f(x)와 접하는 지점은 (루트2, -루트2)이다.

y=x가 f(x)와 접하는 지점은 (2루트2, 2루트2)이다. 


f(x)=0을 만족하는 실근 x를 0, x1, x2라고 하자. 


g(x)를 그려보면 다음과 같다. 



따라서 g(x)는 0<x<2루트2에서 x1, x2에서 불연속임을 알 수 있다.


다음은 h(x)를 그려보자. g(x)에서 볼 수 있듯이 0<x<2루트2에서 실근의 개수는 2개 또는 3개이다. 즉 임의의  x에 대해 g(x)의 치역이 될 수 있는 후보는 2개 또는 3개이다. 


따라서 실근의 개수가 최대 3개이므로 h1(x), h2(x), h3(x)인 세 가지 케이스로 그래프를 분리시켜 알맞은 h(x)를 찾아보도록 하겠다. 


(물론, x=0.0001에서는 h1(x)를 따르고, x=0.0002에서는 h3(x)를 따르고 등등을 해서 '함수의 정의'에 맞출 수도 있지만, h(x)는 연속함수이므로 중간에 두 함수가 연결된다거나 하는 경우가 있어야 할 것이고, 또한 문제의 (가)~(라) 조건에도 위배되지 않아야 할 것이다.) 



우선 h(x)=h2(x)에 대해 살펴보자. (라) 조건의 최솟값이 존재한다는 발문에 모순이다. 


다음은 h(x)=h3(x)에 대해 살펴보자. h3(x)는 t=0에서 (다) 조건에 위배된다. 즉, 아주 조금이라도 중간에 h3(x)가 끼어들 여지는 절대 존재하지 않는다. 



h1(x)와 h2(x)는 0<x<=x1, x>=x2까지는 공통인데, h1(x)를 타다가 h1(x)와 h2(x)의 교점에서 x1<x<x2에서 h2(x)를 타도 연속이며 최솟값은 존재할 것이다. 그러나 x1<x<x2에서 h2(x)는 x2보다 작다. 따라서 h(x)에 h2(x)가 끼어들 여지는 존재하지 않는다. 


즉, h(x)=h1(x)로 결정이다. (여기까지 작수 22번까지의 논리와 유사하고, 작수22번을 응용했다고 미리 언급했었으니 바로 h1(x)로 결정하고 그냥 푸는 사람도 있을 것이다. 논술 문제가 아니므로 정답만 맞으면 장땡 아닐까?)



이제 정답을 내자. 


g(x)는 x1, x2에서 불연속이므로 h(x)+a를 곱해 연속이 되어야 하므로 a=-2루트2이다. 



h(x)의 최솟값은 k라 했는데, 이는 x2이다. 


x^2(x-2루트2)+x=0


x=0, 루트2-1, 루트2+1

x2=루트2 +1이다. 

k^2=(x2)^2=3+2루트2


a+k^2=3






지오지브라는 구간 설정이 병1신이고 알지오매스는 y=-x를 y=x로 그리고 스크롤할 때마다 그래프가 사라지는 상상초월 병1신이라 그리다가 홧병 나서 예쁘게 컴퓨터로 그리는 거 포기하고 문제 만들 때 썼던 그림 그냥 그대로 썼으니 양해 부탁합니다..



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