10000덕) 수학 자작(미적분)
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(아이디어가 갑자기 떠올라서 끄적인 문제라 오류가 있을 수 있습니다)
처음으로 정답+풀이 써주시는 분에게 10000덕을 드립니다.
힌트를 드리자면 22학년도 수능 수학 21번과 테마를 공유합니다.
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제가 대학에서 야구동아리 활동을 하고싶거든요.. 지금 아마 고대를 갈거같아요(발표는...
a_n=1/p^n 임을 쉽게 알 수 있고, alpha의 정의식을 보면 유리수의 p진법 표현임을 알 수 있습니다. alpha는 1/p의 자리 (97은 10의 자리, 883은 100의 자리 처럼) 이므로 1의 자리 중 최소인 1을 넘을 수 없습니다. 따라서 ㄱ은 참.
p진법 표현은 일반적으로 유일하지만
p^(-n)을 (p-1)(p^(-n-1)+...)로 대체할 수 있는 예외가 존재.
ㄴ의 경우 alpha=0.333...이므로 대체가 불가능. b_4=b_5=3이어서 참.
ㄷ의 경우 alpha=0.011이므로 0.0101111..로 대체 가능. b_7=1이 가능해서 거짓.
ㄹ의 경우 출제자님이 sin안에 pi를 까먹으신 것 같은데 그렇게 가정을 한다면
lim값이 p-1이므로 n>N이면 b_n=p-1인 N존재. 이 때 sin(pi p^n alpha)에서 p^n alpha의 정수 부분은 고려할 필요가 없고 , 즉 alpha의 p^(-n) 자리 이상은 무시 가능합니다. 그 이하에서는 계수가 전부 p-1이므로 (p-1)p^(-n-1)+(p-1)p^(-n-2)+....=p^(-n)이 됩니다. 따라서 pi p^n을 곱하고 sin 취해주면 0이 되어 참.
ㅁ의 경우 b_n이 두 가지 이상이라면 '대체 가능' 해야 하므로 유한 자리를 가지는 p진법 표현법 존재. 즉 p^n 12가 정수가 되는 n 존재. 즉 n은 6의 배수
8개가 아니라 16개. 거짓.
ㅋㅋㅋㅋㅋpi 까먹었네요
10000덕 드렸습니다
님 왜 쪽지 안봄..