(칼럼)2024 수능 기하 Chapter.1 포물선의 정의-1

Chapter.1 포물선의 정의

 앞서 서문에서 말씀드렸다시피 우리는 앞으로 주어진 조건들을 이용해 '교집합'을 찾아나가는 사고 과정을 익혀 볼 것입니다. 

우선 '포물선'이라는 '조건'이 주어진다면 주로 '세 가지'로 생각할 수 있습니다.

첫째, 포물선의 정의를 이용

둘째, 좌표를 이용(좌표를 대입해서 도출)

셋째, 수식을 이용(포물선의 방정식)

물론 이 세 가지가 '절대적인 것'은 아닙니다. 문제에서 주어지는 조건이 항상 같았다면 모두가 100점이였을 겁니다. 각 문제별로 조건은 다를 수 있다는 점을 인지해주시기 바랍니다.

자, 백문이 불여일견이라고들 하죠. 바로 2023학년도 6월 평가원 모의고사 기하 29번 문제를 보도록 합시다.

위의 문항의 총 네 개의 조건을 이용해 풀도록 하겠습니다. 

우선 여러분들께서 먼저 풀어보세요! 30분 동안 시도해보시고도 안 되신다면 아래의 풀이를 보도록 합시다.

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자 우선 제 풀이에서 조건 1에 해당하는 게 바로 y²=8x입니다.

위에서 말씀드렸다시피 첫 번째 관점과 두 번째 관점을 이용해 조건을 변형해봅시다.

(*모르는 값은 미지수로 설정하는 걸 하나의 '당연한 것'으로 받아들입시다. 우리가 방정식을 쓰는 것도 모르는 값을 알기 위함인 것과 매한가지라고 생각해요.)

저의 경우, 두 점 P, Q의 좌표를 a와 b를 이용해 나타냈습니다.(위에서 언급했던 두 번째 관점)

그리고 포물선의 정의에 의거해 직선들의 길이를 나타내주었습니다.

자, 두 번째 조건은 무엇일까요? 제 풀이에선 F'을 초점으로 하고 P를 지나는 또 다른 포물선이였습니다.

이 포물선의 준선을 a에 관한 식으로 나타내고 포물선의 정의에 의거해 선분 F'Q의 길이를 작성하면

2a-b+2임을 알 수 있습니다.

이제 세 번째 조건, 사각형 F'PFQ의 둘레의 길이가 12임을 이용하여 구하면 a=1임을 알 수 있습니다.

 이렇게 a=1임을 구하고 나서 b를 어떻게 구해야 할지 몰라 당황하신 분들도 계셨을 것 같습니다.

이건 위에서 말했던 3가지 관점이 아닌, "주어진 상황"을 발견하고 인지할 수 있어야 하는 능력이 필요합니다. 아마 눈치 빠른 분들은 이미 알아채셨겠지만, a=1을 대입하고 나면 직각삼각형 하나의 세 변의 길이를 전부 미지수 하나로만 표현할 수 있습니다. 

우선 점 Q를 직선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라 합시다. 이때 직각삼각형 F'QH의 세 변은 전부 b에 관한 식으로 표현할 수 있습니다. 여기서 좌표의 관점과 피타고라스의 정리를 이용하면 됩니다.

 수능 기하에선 이런 식으로 '명시된 조건'이 아닌, '주어진 상황' 또한 하나의 조건임을 이해하셔야 합니다. 이런 식으로 미지수 하나만 남은 상태에서 구해야 할 때, 도형의 닮음이나 피타고라스의 정리로 처리하는 경우가 종종 있으니 알아두시면 좋을 것 같네요!

피타고라스의 정리를 이용하여 계산하고 최고차항을 소거하면, 루트 b에 관한 이차방정식 꼴임을 알 수 있고, 이를 계산하면 b=1/25임을 쉽게 알 수 있습니다.

자 이제 a와 b의 값을 전부 아니 우리가 구하는 넓이 S를 가볍게 계산해줍시다.

이렇게 p와 q의 값이 각각 5와 18임을 알 수 있고, 구하는 답은 23입니다.