2022학년도 고3 10월 미적분 30번 해설
게시글 주소: https://orbi.kr/00061354089
그냥 여담으로 드리는 말씀이지만 평가원 모의고사와 교육청 모의고사는 년도를 세는 기준이 다릅니다.
평가원 모의고사/수능은 대학수학능력을 측정하고자 하는 시험으로, 시험을 치는 년도의 다음 해에 대학에 입학할 학생들을 응시 대상으로 하기에 시행 년도에 1년을 더한 햇수를 표기합니다. 예를 들어 2022년에 시행된 6월/9월/수능은 2023년에 대학에 입학할 학생들의 대학수학능력을 측정하는 시험이기에 2023학년도 6모/9모/수능 이렇게 표기합니다.
이와는 대조적으로 교육청이 주관하는 모의고사 시험들의 경우 정식 명칭이 전국연합학력평가인데, 전국연합학력평가는 '그 해의' 전국의 학생들의 수준을 가늠하기 위한 시험이기에 시행 년도를 그대로 표기합니다. 즉 제가 오늘 올릴 문제는 2022년 10월에 시행된 학력평가 미적분 30번 문제인 것입니다.
다들 알고 계시리라 생각합디다만 의외로 헷갈리기 쉬운 사항이기에 이러한 서론을 적어보았습니다.
---------‐-----------------------------------------------‐-----------------------------------------------‐-----------------------------------------------‐-------------------------------------
30번 문제입니다. 가형 30번과 요즘 미적분 30번을 비교해보면, 상대적으로 문제의 호흡이 상당히 짧아진 대신 핵심적인 요소들을 정확히 파악해야 한다는 점은 비슷합니다.
우선 문제를 읽어보면, (가) 조건을 해석하는 것이 관건으로 보입니다. 간혹 가다가 적분식을 미분할 생각을 하지 못하고 문제를 결국 풀지 못하는 경우가 종종 있는데, 적분식을 포함한 관계식이 주어져 있다면 우선 미분을 해보는 것 역시 굉장히 중요합니다. 이렇게 적분식이 주어져 있을 때 미분을 통해 상황을 파악하는 문제들이 유독 올해 교육청 시험에 많은 편이었습니다. (3월 22번, 4월 22번) 아무튼, 양변을 x에 대해 미분하면...
이러한 관계식이 나옵니다. (G(x)는 g(x)의 부정적분입니다.) 여기서 양변을 미분하였을 때 오른쪽 항이 -g(3a-x)이 되지 않는 이유는 합성함수의 미분에 의해 속미분을 했을 때 -1이 곱해지기 때문입니다.
관계식을 잘 살펴보면, g(x)가 x=3a에 대해 선대칭이라는 것을 알 수 있습니다. ln(x)는 증가와 감소가 변하지 않는 일대일대응 함수이므로 f(x)+f'(x)+1이 x=3a에 대해 선대칭인 이차함수라는 것을 알 수 있겠군요. 편의상 f(x)+f'(x)=h(x)라 하면 g(x)는 항상 0보다 큰 값만을 가지므로 h(x)+1은 항상 1 이상, 즉 h(x)는 항상 0보다 큰 이차함수라는 결론을 내릴 수 있습니다.
따라서 h(x)의 대칭축이 x=3a임을 파악하면 이와 같이 h(x)의 식을 세울 수 있습니다. 하지만 아직은 정보가 너무 부족합니다. '상수' a의 값이 구해져야 문제를 풀 수 있을 거 같은데 아직 a의 값을 구할 수 있는 관계식을 찾지는 못했습니다. 어떻게든 a의 값을 구해봐야 할 거 같은데, g(x)를 가지고 할 수 있는 이야기는 이 정도가 끝으로 보입니다.
여기서 한 가지 말씀드리자면, 적분식을 보았을 때 우리가 할 수 있는 행동은 크게 2가지입니다.
1) 미분한 뒤 도함수의 정보를 파악한다.
2) 적분식에 적당한 수를 대입하여 값을 추려낸다.
1번의 경우에는 수2와 미적분 모두에서 공통적으로 요구되는 사항이지만, 2번의 경우에는 과거 일부 가형 킬러 문제에서 요구되었던 발상입니다. 왜냐하면 수2에서는 합성함수의 미분법을 배우지 않기에 적분구간에 x의 계수가 1인 일차식만을 넣을 수 있어 대입과 관련된 이야기를 하기가 상대적으로 어렵기 때문입니다. 방금 적분식을 미분하여 g(x)에 대한 정보를 파악했으니 이제 적분식에 적당한 수를 대입할 차례입니다.
'모든 실수 x에 대해' 두 적분식의 값이 같다고 하였으므로 이는 x에 대한 항등식입니다. 무엇을 대입하여야 할까 좀 생각해보니, g(x)가 항상 0보다 크다는 점에서 착안하여 위끝을 동일하게 설정해준다면 아래끝의 값이 서로 같을 것이고, 아래끝을 동일하게 설정해준다면 위끝이 서로 같을 것이니 이를 통해 a를 구하면 되겠군요. 저는 편의상 아래끝을 동일하게 2a로 맞춰주겠습니다. 물론 위끝을 동일하게 2a+2로 맞추셔도 a값에는 변화가 없으니 참고 바랍니다.
그러면 앞서 언급한 h(x)의 식은 h(x)=(x-3)²+k가 되겠군요. (나)에서 g(4)=ln5라 하였으니 h(4)+1=5가 되므로 h(4)=4가 되겠군요. 그려면 k=3이 나오네요. 이제 끝났습니다. 답을 슬슬 낼 시간입니다. f'(x)를 구해야 하므로 구해보면...
f'(x)는 이와 같습니다. 이제 진짜 답을 내봅시다.
따라서 m=-4, n=16이 되어 m+n=12임을 알 수 있습니다. (EBSi 기준 정답률 8.2%)
개인적으로는 이 문제가 정적분의 주요한 성질들을 굉장히 잘 묻고 있다고 생각합니다. (특히 g(x)>0임을 이용하여 a를 구하는 부분) 다만 당시 10월 22번은 정답률이 약 3.9% 정도로 잡히는데, 굉장히 전형적이었던 다항함수 킬러 문항이었어서 오히려 이 30번이 더 어려웠다 생각했으나 정답률이 이쪽이 2배 이상 높게 나온 것을 보고 조금 신기했던 경험이 있습니다. 아무튼 해설은 이쯤에서 마치겠습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이 도끼가 너의 더끼더야 제 도끼거아닙니댜 그럼 ㅕㄴ 이 은도끼가 니 도끼더냐...
-
술은 혼술이지 6
낭만넘침
-
채팅이 이샇ㅇ함
-
기만
-
step1,2 or 기본개념 샹크스등 개인적으로 내용말고 구성이 진짜 화딱지난다....
-
정신줄 바짝 잡고 있어야하는 게 불편함
-
중국닞ㅂ은 ㅈㅇ국ㅇㅁ식이 아니라퓨먼음식이라며
-
히히 똥테 2
칭찬해죠
-
쌩 이과인데 25학년도 수능 25점 나왔어요. 진입할만 할까요?
-
1. 수능 45등급짜리 내신 2점대 담뇨현역부터 2. 머리 좀 괜찮은 노베출신...
-
군대 수능 군수 3
지금 공군에서 수능준비하는 사람입니다 수능 한달전 전역인데 지금 3모가 코앞인데...
-
이사람이 날 왜만나지 싶은데 또 날 좋아해두는
-
님들이 생각하기에 수2 기출중에 제일 어려웠다고 생각돼는문제 뮈임? 7
난 211130 그 h(x)구간별함수 나오는거
-
사실 전생에 7
설의였던거임 전생의 기억을 찾고 있는거임...!!
-
사탐 문외한이어서 몇분에게 조언 구했는데(감사합니다..) 결론적으로는, 제가 목표로...
-
05가 삼수생이라고??? 아.
-
내 상상보다 훨씬 많이 그리고 열심히 했을듯..
-
수학(상,하) 돼있어도 50일의 수학 해야대나요?? 2
시발점 수학 (상,하) 워크북에 쎈까지 했어도 50일의 수학 해야되나요???
-
친구가 재종에서 자습시간에 강기분 듣고있는데 고려대나온 그 학원 원장쌤이 지나가다가...
-
재수생이고 작년 생윤은 3떴습니다 비록 3등급이긴한데 굵은 개념들은 어느정도 다...
-
수학 때매 안될듯뇨
-
김현우t 질문 2
시즌2부터 들어가는데 미적 다른사람꺼 추가로 듣는게 좋을까요? 공통컨들도 풀고싶어서
-
???: 야구는 레저아닌가? ㅋㅋ (야구 스윙 10번 하면 담날 근육통 오고 공...
-
설문조사 3
-
모든과목 기출만 n회독하면 3등급은 확보되는 방법인가요? 1
모든과목 기출만 n회독하면 3등급은 확보되는 방법인가요? 이과수학 영어 생1 지1 기준
-
이원준 rnp 안듣고 브크 바로 들어도 되나요?
-
아무래도 내가 어지럽힌거겠지... 청소 시작
-
오늘 시범과외하러감 10
일단 난 작수 백분위 7x.. 학생이 고2라 수1 수2 시발점만 해주면 될라나...
-
선택과목 빼고
-
청소해야하는데 11
그냥 물티슈로 슥 닦을가 넘귀찬아..
-
프변완 2
-
근데또 외모가 이성형에 맞아야 재밌긴한듯 어카지
-
수학 몇등급나옴
-
트럼프는 캐나다 51번째주 진지하게 밀고있는것 같은데 11
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
1학년 : 사람들은 모두 죽어 2학년 : ~~ 연구진들은 사람들의 수명을 무한히...
-
밥줘 6
냠냠
-
받은사람? 어케 생김?
-
치대? 연고대? 어디?
-
방금 화장실에서 든 생각임 와 이번주에 처음 간 화장실인데 진짜 존나 흉악하게...
-
4월 달 안에 수특 다 풀어 볼게요. 중간 끝나면 끝 낼 수도?
-
3모 땐 제발 80점만 넘는걸로
-
수학 수능 목표는 3정도인데 확통 기출 6~7월에 시작하면 너무 늦음? 수1,...
-
인강 보니 새교육과정도 개념과정은 다 찍어놓으셨네요
-
이용자 붙잡아두기 신종 수법인가
-
옛날에는 귀여운 맛이 있었는데..하
-
작은 전쟁 5
머리가 넘 아프다 아아..ㅜㅜㅜ
-
ㅈㄱㄴ
-
올해 훈련받으러 가시는분?
-
3모가 기대된다 3모땐 74점의 벽 깰 수 있는거냐뇨이????

아 이거때문에 100점 못받음
22번보다 훨씬 어렵다고 느꼈는데 정답률이 이게 더 높다니 의외네요동의합니다. 저도 현장에서 풀었을 때는 이게 22번보다 어렵다고 느껴졌던 거 같습니다. 그런데 막상 수능 끝나고 심심할 때 하나씩 풀어보니 쉽게 풀리는 문제들이 종종 있는 것도 같습니다ㅋㅋㅋ
저는 다음과 같이 풀었는데 주니매스 님 풀이를 보니 잘 푼 것 같아 다행이네요! 글 감사히 읽었습니다
(가) g(x)>0 <=> f(x)+f'(x)+1>1 <=> f(x)+f'(x)>0
적분식의 양변을 미분하면 g(3a+x)=g(3a-x)
<=> g(x)는 x=3a 대칭
<=> f(x)+f'(x)+1은 x=3a 대칭
(g(x)에서 f(x)+f'(x)+1이 합성된 ln(x)가 증가만 하거나 감소만 하는 함수이기 때문)
적분식 integrate g(t) dt from 2a to 3a+x = integrate g(t) dt from 3a-x to 2a+2 를 integrate g(t) dt from 2a to 3a + integrate g(t) dt from 3a to 3a+x = integrate g(t) dt from 3a-x to 3a + integrate g(t) dt from 3a to 2a+2로 바꾸면 앞서 g(x)가 x=3a 대칭임을 알았기 때문에 integrate g(t) dt from 3a to 3a+x = integrate g(t) dt from 3a-x to 3a 임을 알기 때문에 남은 식 integrate g(t) dt from 2a to 3a = integrate g(t) dt from 3a to 2a+2 에서 2a+2=2a or 2a+2=4a로부터 a=1 결정 (a=/0를 가정하고 풀었는데 a=0이라면 모순 발생)
(나) g(4)=ln5 <=> f(4)+f'(4)=4
얻은 조건들로부터 f(x)+f'(x)=(x-3)^2+3이고 f(x)=x^2-6x+12임을 알 수 있고 마지막 적분 식은 치환적분법에 의해
integrate ln(x^2-6x+13)*(2x-6) dx from 3 to 5 = integrate ln(t) dt from 4 to 8 이므로 적분값은 16ln2-4, 답은 12
감사합니다. 요즘 미적 30번은 여전히 식이 가진 의미를 파악하는 것이 중요하긴 하지만 그래도 과거에 비하면 계산량은 좀 줄어든 느낌이 드네용
동의합니다, '식이 가진 의미를 파악하는 것이 중요'하다는 말에서 2021학년도 고3 10월 미적분 29번도 떠오르네요! 그 삼각함수에 대해서 정적분 조건 제시했던 (제 기억이 맞다면)