local gradient

Let $M$ be a smooth manifold and $\omega$ be a nowhere vanishing $1$-form on $M$. Then $\omega$ is locally proportional to the differential of a function (i.e., around every point $p\in M$ there is a neighborhood $p\in U$ and a functions $f,\lambda:U\to\Bbb R$ such that $\omega = \lambda df$) if and only if $\omega\wedge d\omega =0$.

꽤 그럴듯한 질문인데 한번도 이런 경우를 딱히 궁금해 한 적이 없음. 일단 $\omega\wedge d\omega =0$ 이라는 것과 동치인 것인 $\ker\omega$ 가 integrable 하다는 것인데, 이 말은 어떤 submanifold $N\subset M$이 있어서 그것의 tanget space가 $\ker\omega$가 된다는 것. 따라서 만약 $X$가 $\omega$의 dual vector field라고 한다면 (nonvanishing 이겠지 그러면), $X$랑 $\ker\omega$의 local frame과 함께 $M$의 local frame을 형성한다고 볼 수 있음. 한가지 알려진 사실은 (Frobenius theorem라고 불림) 어떤 좋은 chart $(U,(x^i))$가 있어서 $\ker\omega$가 $\Bbb R^{n-1}$이 $\Bbb R^n$에 스탠다드하게 embedding이 되는 그런 구조로 볼 수 있음. 다시 말해서 $\ker\omega$가 $\partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^{n-1}$으로 span 된다는 건데, 그렿게 되면 $S\cap U$는 $x^1 = \cdots = x^{n-1} = 0$인 slice가 됨. 따라서 $X$는 $\lambda{\partial\over\partial x^n}$ for some nonvanishing $\lambda$로 $U$에서 로컬하게 쓸 수 있고, $f$를 $(x^1,\ldots,x^n)\mapsto (0,\ldots,x^n)$ 이라고 한다면 이것의 gradient가 ${1\over\lambda}X$가 돼서 $\omega = \lambda df$라고 $U$에서 쓸 수 있게 됨.

나중에 또 볼일이 있을지 모르겠지만 기록해두면 뭔가 도움이 될 수도