finite cover

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만약 $p:M\to N$이 finite covering map between smooth manifolds라고 한다면 (de Rham) cohomology에서 injection을 induce 한다는 것은 비교적 쉽게 (하지만 비자명하게) 보일 수 있는데, 궁금한 것은 이게 그냥 제네럴한 topological manifold에서도 되는지 였음. 대수위상 전공(?) 하는 지인이 어느정도 대답을 해줬는데 만약 $p:M\to N$이 d-fold covering between topological manifolds 라고 한다면 $p^*:H^*(N;G)\to H^*(M;G)$는 injection을 induce한다는 것이 참이라고 함 (아무 G나 되는건 아니고...). 아무튼 여기서 사용되는게 일단 normal covering으로 reduce를 시키고 하는데, 나한테 (그쪽 세계 용어를 잘 몰라서) 어려운 파트는 normal cover에 대한 것이었는데, 그분이 한 진술을 그대로 하면

if $G$ is a finite group acting continuous and freely on a Hausdorff space $X$, then $\pi\colon X\rightarrow X/G$ is a $|G|$-fold covering space and $\pi$ induces an isomorphism $H^k(X/G;A)\rightarrow H^k(X;A)^G$ (the latter being $G$-invariants) for all $k\ge0$ whenever multiplication by $|G|$ is an isomorphism on $A$ (i.e. $A$ naturally is a $\mathbb{Z}[1/|G|]$-module).

증명도 말해주긴 했는데 뭔말인지 모르겠음 (아니 알려고 하지를 않음 ㅎㅎ..). 사실 저거 처음봐서 레퍼런스가 있냐고 물어봤더니 기억나는건 본인 학사 논문밖에 없다고 근데 별로 안어려우니 그냥 라이브로 증명해준다고 해서 그리 됨.

아무튼 결론은 일반적인 mfd에서도 되긴 한다. 이거 찾아봐도 잘 안나와서 여기에 기록해둠.