[원빈/자작] 6년??만에 수학 고난도 자작문항입니다.
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예전에 자작문항을 4문제 만든 적이 있었는데, ,,, 오랜만에 옛기억이 나서
문제를 만들어봤어요.
답은 36입니다.
감사합니다.
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정답 45로 정정합니다!
전 왜 48이 나와버린..
아 f'(1)=0이네요 ㅈㅅ
안녕하세요~! 문제를 풀어주셔서 감사합니다. 생각보다 많이 어렵죠~!
이 문제는 그래프 해석에 초점이 맞춰져 있습니다.
조건 (가)는 제대로 해석하셨습니다.
최고차항의 계수를 a라고 하면
1<=a<=3입니다.
조건 (나)를 상술하면
|f(x)-|x-1||이 x=1에서는 미분가능한데,
|x-1|이 x=1에서 미분가능하지 않으므로
|f(x)| 역시 x=1에서 미분가능하지 않아야 합니다.
이를 만족시키는 상황은
f(1)=0 이면서 f'(1)=1인 경우와
f(1)=0 이면서 f'(1)=-1인 경우로 나뉘게 됩니다.
f(1)=0 이면서 f'(1)=1이되면
|f(x)-|x-1||은 x=1에 좌미분계수(-1-(-1)) 우미분계수(1-1) 모두 0이되어 미분가능하며,
f(1)=0 이면서 f'(1)=-1이되어도
|f(x)-|x-1||은 x=1에 좌미분계수(-1-(-1)) 우미분계수(1-1) 모두 0이되어 미분가능하기 때문입니다.
즉. 이 문항은 그래프 개형이 두가지 케이스로 공존하는 것입니다.
여기서 조건 (나)에서는 다시 f(3)=2이어야 함을 제시합니다. 왜냐하면 |f(x)-|x-1||이 x=3에서는 미분가능하지 않아야 하므로, f(x)는 점 (3, 2)를 기울기가 1이 아니도록 관통해야하기 때문입니다.
따라서,
첫번째는 f(x)-(x-1)=a(x-1)^2 (x-3) 개형이 가능하고
두번째는 f(x)+(x-1)=a(x-1)^2(x-b) 개형 (단, f(3)=2이므로 a와 b 사이의 관계식 획득가능)
이하에서는 1<=a<=3을 이용하는 단순계산이므로 풀이를 생략합니다.
이문항의 난이도는 초고난도로 생각합니다.
감사합니다!
선생님이 말씀하신 풀이가 되려면 문제 조건이 |f(x)|-|x-1| 이 되어야 하지 않나요??
f'(1)=0이면 절묘하게 문제 조건을 맞추고 최대 최소가 나오긴해요!
그렇진 않습니다. |f(x)-|x-1||로 둘때 위와같은 풀이가 가능합니다.
핵심은 |f(x)|가 x=1에서 |x-1|과 같은 정도(-1과 1)로 꺽여있어야 한다는 점입니다.
|f(x)-|x-1||의 그래프를 상상해보면 좌미분계수와 우미분계수가 각각 0이된다는게 이해가 갈것입니다.
음...학생분의 질문이 무엇인지 알겠습니다.! 오류가 있는지 고심해봐야될거같아요! 너무 어려운 문제를 만들려다 보니 뭔가 꼬인것 같네요.
||f(x)|-|x-1||가 오직 x=3에서만 미분가능하지 않다로 조건 (나)를 수정할게요
날카로운 의문에 감사드립니다
엄.. 좌미분계수가 2 우미분계수가 0 이 되어서 절댓값 붙여도 2 0 나오는거 같은데
제가 잘못 이해 한거 일수도 있어서
한번만 더 설명해주시면 감사하겠습니다
아아 수정해서 풀라고 하셨네요 문제 좋은거 같아요 잘풀고 갑니다 선생님!!
학생분덕분에 오류를 찾았습니다. 이 문제가 출판될 경우 학생분의 지적을 반영하여 출판하겠습니다. 감사합니다.
이 문항은 오류가 있으므로, 아이디어를 살리되 수정을 가하여 재업할 예정입니다.