아무도 안볼 것 같아서 글로 남김
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댓글로 썼다간 그대로 묻힐까봐
우선 f'=0 이면 f = C이다부터 증명함
f는 미분가능한 함수이니 연속임(다들 "미분가능하려면 우선 연속이어야 한다" 처럼만 알고 있어서 마치 미분의 정ㅇ속에 연속에 대한 내용이 있는 것 처럼 알고있는데, 이거조차도 원래는 증명이 필요한 명제임)
구간 내 임의의 두 점 x1 < x2에 대해 일반성을 잃지 않고
평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 점 c가 존재함
f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2-x1)
근데 f'(x)=0이라고 했으므로 대입하고 정리하면
f(x2) = f(x1)
즉 구간내에서 함숫값이 일정하다는 말이고 상수라는 것임
이렇게 증명 가능함
이제는 확장해서
f'(x) = g'(x) 이면 f(x) = g(x) + C
임을 증명할 것임.
이걸 보이면 f'=2x 이면 g(x) = x²라고 두었을 때 g'=2x 이니까 정리를 적용해서
f' = g' 이면 (f'=2x이면) f = g + C (f = x²+C) 다가 증명 되는 거임
증명 : 위에서 보인 정리를 이용할 것이다.
F(x) = f(x) - g(x) 라 하자.
그러면 F'(x) = f'(x) - g'(x) = 0 이다.
한편, 위에서 보인 정리에 의하면 F(x) = C 이다.
따라서 f(x) = g(x) + C 이다.
끝
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ㅏ그렇네ㅋㅋ
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