190920 변형 자작문제
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반수할때 재미로 만들어봤던 문제인데 다시보니까 생각나서 올려봐요~
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난이도는 해당 문제를 안다면 쉬운 편입니다. 그리고 자작문제라 자잘한 오류가 있습니다. 예를 들어 a1이 0이 아니라든가 ㄷ선지에서 n=1일때 정의가 안된다던가 등등
적당히 받아들여 기출 생각하며 풀어봤습니다!
1. f'(x)=2[cos(x)-x*sin(x)] 이므로 f'[a(n)]=2[cos[a(n)-a(n)*sin[a(n)]]=0임을 알 수 있다. 식을 정리하면 1/a(n)=tan[a(n)]이다.
ㄱ. 얻은 식의 양변에 n=1을 대입하면 1/a(1)=tan[a(1)]이므로 뒤집으면 a(1)=1/tan[a(1)] (참)
ㄴ. y=1/x와 y=tan(x)의 그래프를 그려보고 x=a(1), x=a(2), … 를 표시해보자. 그래프를 통해 a(2)<a(1)+pi임을 알 수 있으므로 식을 정리하면 a(2)-a(1)<pi (참)
ㄷ. [sec[a(n)]]^2은 y=tan(x)의 x=a(n)에서의 미분계수이다. 이로부터 좌변의 식을 평균변화율 정도로 생각해보자. tan[a(n)-pi]=tan[a(n)]=1/a(n)이라는 점에서 점 (a(n)-pi, tan[a(n)-pi])과 점 (a(n-1), tan[a(n-1)]) 사이의 기울기로 좌변의 식을 바라볼 수 있다. 평균값 정리에 따라 좌변의 식은 y=tan(x)의 x=p (a(n)-pi<p<a(n-1))에서의 미분계수와 같음을 알 수 있다. 이때 모든 자연수 n에 대하여 (n-1)pi<a(n)<(n-1/2)pi라는 점에서 이 구간에서 dy/dx=[sec(x)]^2가 증가함수임을 알 수 있기에 a(n)-pi<p라는 점에서 부등호가 뒤집어져야함을 알 수 있다. (거짓)
답은 ㄱ,ㄴ으로 3번
처음 접했을 때 합답형 문제의 정수? ㄱ으로부터 ㄴ을, ㄴ으로부터 ㄷ을 판단하는 맛이 가장 잘 느껴지는 문제라 느껴서 지금도 기억에 남네요 ㅎㅎ 재밌게 풀었습니다, 감사합니다!
문제 자체에 빵꾸가 많았는데도(an<an+1이 아니라 작은 순서대로 차례대로 a1, a2....이렇게 만들었어야 했는데) 다 감안해주시고 풀어주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
문제 만들어보니까 평가원은 발생할 수 있는 오류들(작년 생2 20 제외)을 다 차단한다는게 신기하다는게 느껴지네요 ㅋㅋㅋ
그쵸 ㅋㅋㅋㅋ 저도 문제 만들다보면 이건 이래서 막히고 저건 저래서 막히고 해서 깔끔하게 문제 없이 답 나오게 하는 평가원이 신기하더라구요.. 와중에 숫자까지 깔끔하게 맞추니