호훈 선생님은 그 함수를 어케 찾으셨을까요?

호훈 선생님 레전드를 모르시는 분들을 위해: 

https://orbi.kr/00059265287

갑자기 오랜만에 1년 전 메타가 올라와서 갑자기 생각났어요!

그 때는 댓글창이 너무 뜨겁게 불타올라서 (그리고 제가 뉴비여서) 감히 말을 못했는데

사실 호훈 선생님께서 떠올리신 저 함수는, 코시의 평균값 정리를 증명하는 데 사용되는 함수랍니다.

코시의 평균값 정리에 대해 살짝 살펴보면, 우리가 알고 있는 평균값 정리를 일반화한 것인데요,

"함수 f(x)와 g(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 개구간 (a,b)에서 미분가능하면

f′(c)[g(b)−g(a)]=g′(c)[f(b)−f(a)]인 c가 개구간 (a,b) 내에 적어도 하나 존재한다."

(이렇게 보면 ? 저 생각을 어케했누 ? 싶으니, 살짝 식을 수정해 보면

[g(b)-g(a)]/[f(b)-f(a)] = g′(c)/f′(c), 즉 함수값 차의 비가 미분계수 비가 되는 어느 점이 존재한다는 뜻이에요.

다만 f(b)-f(a)가 0이 아니란 보장이 없으니, 식을 함부로 이렇게 수정하면 안 되겠지만요...)

특히, 위 식에서 f가 항등함수, 즉 f(x) = x일 때가

[g(b)-g(a)]/(b-a) = g′(c), 즉 우리가 알고 있는 평균값 정리가 되는 것이지요.

그리고 저 정리를 증명할 때

F(x) = f(x) {g(b)-g(a)} - g(x) {f(b) - f(a)}라는 함수가 사용되는데요,

위 식에서 f(x) = 7(1-cos πx) - (128분의 7)π²x²(x-8)², g(x) = x³

그리고 b = t, a = 0으로 두면, 호훈 선생님께서 i(t)라고 정의하신 저 함수가 나온답니다.

이 함수에다가 롤의 정리를 때려박으면 코시의 평균값 정리가 자동 성립하거든요.

그 다음에는, 코시의 평균값 정리를 이용해서 0/0꼴의 로피탈의 정리를 증명하는 과정을 보이신 것이지요.

(실제로 호훈 선생님의 마지막 식을 보면, 해당 함수를 3번 로피탈 한 것과 같은 모습이지요?)

즉 호훈 선생님께서 보이신 저 방법은

(1) 롤의 정리는 교과과정 내에 있으므로, 롤의 정리를 이용하여 구하고자 하는 극한값을 구하는 데 필요한

코시의 평균값 정리(의 특수한 경우?)를 증명한다.

(2) 코시의 평균값 정리를 이용해서 로피탈의 정리를 증명한다.

그래서 저 함수가 필연적으로 등장할 수밖에 없었던 것이구요...!

저 논쟁을 볼 때마다, 어떤 정리의 증명 과정을 알아두는 것이 얼마나 중요한가를 새삼 느끼게 되어요.

어떤 정리의 결과 자체보다도,

그 정리를 증명하는 데 사용된 아이디어야말로

다른 문제를 푸는 데 무궁무진한 창의력을 제공하거든요.

(예를 들어, 이차방정식의 근의 공식을 외우기만 하면 이차방정식밖에 풀 수 없지만

이차방정식의 근의 공식을 유도하는 과정이, (완전제곱꼴) = (상수항)으로 식을 정리해 나가는 것이라는 점을 이해한다면

이차식의 최대/최소 등을 구하는 데에도 같은 아이디어를 적용할 수 있겠지요)

갑자기 호훈 선생님 레젼드 메타가 돌아서 작년 추억에 젖었다가,

호훈 선생님의 저 식을 볼 때마다... 학창시절에 실력정석 미적분 편에서

코시의 평균값 정리로 로피탈의 정리를 증명하는 내용이 떠오르고

또 그 촌스럽고 정겨운 하얀색 바탕에 연두색 표지가 생각나서... 그냥 끄적여봤어용 ㅋㅋㅋ

3줄요약

(1) 호훈 선생님께서 사용하신 식은, 코시의 MVT를 증명하는 데 사용되는 식이다

(2) 증명 과정을 잘 알쟈

(3) 근데... 그래도 저생각을 어케하셨누