호훈 선생님은 그 함수를 어케 찾으셨을까요?
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갑자기 오랜만에 1년 전 메타가 올라와서 갑자기 생각났어요!
그 때는 댓글창이 너무 뜨겁게 불타올라서 (그리고 제가 뉴비여서) 감히 말을 못했는데
사실 호훈 선생님께서 떠올리신 저 함수는, 코시의 평균값 정리를 증명하는 데 사용되는 함수랍니다.
코시의 평균값 정리에 대해 살짝 살펴보면, 우리가 알고 있는 평균값 정리를 일반화한 것인데요,
"함수 f(x)와 g(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 개구간 (a,b)에서 미분가능하면
f′(c)[g(b)−g(a)]=g′(c)[f(b)−f(a)]인 c가 개구간 (a,b) 내에 적어도 하나 존재한다."
(이렇게 보면 ? 저 생각을 어케했누 ? 싶으니, 살짝 식을 수정해 보면
[g(b)-g(a)]/[f(b)-f(a)] = g′(c)/f′(c), 즉 함수값 차의 비가 미분계수 비가 되는 어느 점이 존재한다는 뜻이에요.
다만 f(b)-f(a)가 0이 아니란 보장이 없으니, 식을 함부로 이렇게 수정하면 안 되겠지만요...)
특히, 위 식에서 f가 항등함수, 즉 f(x) = x일 때가
[g(b)-g(a)]/(b-a) = g′(c), 즉 우리가 알고 있는 평균값 정리가 되는 것이지요.
그리고 저 정리를 증명할 때
F(x) = f(x) {g(b)-g(a)} - g(x) {f(b) - f(a)}라는 함수가 사용되는데요,
위 식에서 f(x) = 7(1-cos πx) - (128분의 7)π²x²(x-8)², g(x) = x³
그리고 b = t, a = 0으로 두면, 호훈 선생님께서 i(t)라고 정의하신 저 함수가 나온답니다.
이 함수에다가 롤의 정리를 때려박으면 코시의 평균값 정리가 자동 성립하거든요.
그 다음에는, 코시의 평균값 정리를 이용해서 0/0꼴의 로피탈의 정리를 증명하는 과정을 보이신 것이지요.
(실제로 호훈 선생님의 마지막 식을 보면, 해당 함수를 3번 로피탈 한 것과 같은 모습이지요?)
즉 호훈 선생님께서 보이신 저 방법은
(1) 롤의 정리는 교과과정 내에 있으므로, 롤의 정리를 이용하여 구하고자 하는 극한값을 구하는 데 필요한
코시의 평균값 정리(의 특수한 경우?)를 증명한다.
(2) 코시의 평균값 정리를 이용해서 로피탈의 정리를 증명한다.
그래서 저 함수가 필연적으로 등장할 수밖에 없었던 것이구요...!
저 논쟁을 볼 때마다, 어떤 정리의 증명 과정을 알아두는 것이 얼마나 중요한가를 새삼 느끼게 되어요.
어떤 정리의 결과 자체보다도,
그 정리를 증명하는 데 사용된 아이디어야말로
다른 문제를 푸는 데 무궁무진한 창의력을 제공하거든요.
(예를 들어, 이차방정식의 근의 공식을 외우기만 하면 이차방정식밖에 풀 수 없지만
이차방정식의 근의 공식을 유도하는 과정이, (완전제곱꼴) = (상수항)으로 식을 정리해 나가는 것이라는 점을 이해한다면
이차식의 최대/최소 등을 구하는 데에도 같은 아이디어를 적용할 수 있겠지요)
갑자기 호훈 선생님 레젼드 메타가 돌아서 작년 추억에 젖었다가,
호훈 선생님의 저 식을 볼 때마다... 학창시절에 실력정석 미적분 편에서
코시의 평균값 정리로 로피탈의 정리를 증명하는 내용이 떠오르고
또 그 촌스럽고 정겨운 하얀색 바탕에 연두색 표지가 생각나서... 그냥 끄적여봤어용 ㅋㅋㅋ
3줄요약
(1) 호훈 선생님께서 사용하신 식은, 코시의 MVT를 증명하는 데 사용되는 식이다
(2) 증명 과정을 잘 알쟈
(3) 근데... 그래도 저생각을 어케하셨누
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헉 그분들 올림피아드 수상자셔요...?
호선생님은 수학과+대한수학회 정회원
훈선생님은 올림피아드 싹쓸이출신!
맞다 저 수능 끝나고 스타하자고 했던 사람인데 기억하실라나요...흑
와... 진짜로 엄청난 분들이셨구나
아 저 스타 아직 저그로 1:3 컴까기도 못하는 허접이라... 아직은 좀 힘들어요...! ㅠㅠ 죄송합니당
알겠습니당
사맥님도 올림피아드 출신 아니셨나
클라스는 영원하시네요..!!
클라스... 같은 것은 없었습니다...
문과라 뭔지 모르겠지만 호훈은 ㄹㅇ 천재인듯
그래서 호훈t가 이 증명에 불만이 있을 수 있다고 서두에 밝히셨죠. 증명 과정 자체는 고교 과정에서 문제가 없지만 이 함수가 원래 유명한 함수이긴 하니까요.
그것이.... 서울대 수리과학부....
앗 아니에요 그런거 아니에요 제발 살려줘
살려줄 수 없다면 덕코 나눔할 시간만이라도쥬어...
덕코주세요~
드렸습니다~^^
감사함당~
현역에서 10년도넘었는데 이걸아시는 님도 대단ㄷㄷ
진짜 옯에서 본 그 어떤 짤보다 "우월함"이라는 세 글자가 가장 잘 어울리는 사진이었음,,,
앗 쌤님 오랜만이에요오~^^ 왜 요새는 따뜻한 말 안해주세요!! 그리웠어요 히히
이래저래 바빠서 잘 들어오질 못했네요 ㅠㅡㅠ 수능도 얼마 안 남았으니 자주 와볼게요!!!
네 저때쯤부터 올해 모의고사에 도전해 볼 생각을 했던 것 같아요!
미쳣다 진짜 멋잇어요..
마쟈 수학잘하는사람들멋이써요...
덕코 받고 싶어요 !! 드디어 덕코의 가치를 알아버렸당
넹 드렸습니다...! 근데 정말 편의점에서 쓰시려는 건 아니죠? ㅋㅋㅋㅋ
…아니에요오…..????
감사합니다 !!!!! ㅎㅎㅎㅎ
어느학교 몇학년 몇반 쌤이에요 대체
노당익장이 무슨말인지 보여주겠다 목을 씻고 기다리고 있어라
ㅋㅋㅋㅋㄲㄲㅋㅋㅋ
원본 보고왔는데 공방이 치열하네요..
호훈 메가오면 어케됨??
2타 먹겠지
CMVT! CMVT!
엄마게이폼미쳤다ㄷㄷ
이거 봐도 뭔지 모르겠네 ㅋㅋ 확통이는 지나갑니다
와 하나도 못알아먹겠어요
누군가 로피탈 정리를 논하거든 코시의 평균값 정리를 가르쳐주기.
코시mvt는 매개변수를 이용해 기하적으로만 이해했는데 저렇게 하는 거였군요 잘 배우고 갑니다
호훈 쌤들이 수학 자체 깊이가 다른듯
수학 조아
웅니.. 보고싶어요.. 수능 전후로 따스한 말이 필요해요..
전 항상 수험생 아가들에게 마음속으로 따스한 말을 전하고 있답니다..!^^
우리 누빔님은 어떤 따스한 말이 필요하실까요??+_+
누나 응원좀해줘 4번째야
말두안돼 제가 4번이나 응원부탁한 분한테 응원의 한마디를 안했다구요?! 죄송해요 4^4^4^4만큼 응원해요!!!
네번째수능..