For one particle's translational motion, (Multiplicity)Ω1 = # of all accessible microstate = # of cells in region from phase space. Considering Heisenberg uncertainty principle, Δx_iΔp_i ~ h (planck's const.), i = x, y, z → Volume of cell in phase space = h³ , V_p is the volume in momentum space. Since U = (px²+py²+pz²)/2m, Vp = shell of radius sqrt(2mU) with thickness δ(sqrt(2mU)) in momentum space. Let's define ω(U) s.t. ω(U) = # of microstates with H ≤ U Then, For N( ~ 10²³) particles, where U = Σ p²/2m, by using the volume equation of hypersphere in 3N dim with radius sqrt(2mU). Thus, (We can approximate by using the dimension analysis & large number approximation.) But if we imagine the particles are indistinguishable, Therefore The Entropy of Ideal Gas with N indistinguishable particles, Using Stirling's formula And using ① & ② are called the "Sackur - Tetrode equation".

허준이는 이런거 쉽게품???

②에서 5/2를 ln 안으로 집어놓고 T에 대해 풀면, 엔트로피가 0이 되는 온도 T_c > 0K을 찾을 수 있다. T_c는 어떤 온도인지 논하시오.

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빅토리아 시크릿 [1033492] · MS 2021 · 쪽지

2022-10-27 00:19:41
조회수 10,168
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Entropy of Ideal Gas

게시글 주소: https://orbi.kr/00059010148

For one particle's translational motion,

(Multiplicity)Ω1 = # of all accessible microstate = # of cells in region from phase space.

Considering Heisenberg uncertainty principle,

Δx_iΔp_i ~ h (planck's const.), i = x, y, z

→ Volume of cell in phase space = h³

$XE9tZWdhXzEgKFUpID0gXGZyYWN7MX17aF4zfSBcaW50IGR4ZHlkesUMX3t7XGNhbHtIfX09VX0gZHBfeMQFecQFesk+ViBcY2RvdCBWX3DGSA==$

, V_p is the volume in momentum space.

Since U = (px²+py²+pz²)/2m, Vp = shell of radius sqrt(2mU) with thickness δ(sqrt(2mU)) in momentum space.

Let's define ω(U) s.t.

ω(U) = # of microstates with H ≤ U

$XG9tZWdhXzEgKFUpID0gXGZyYWN7MX17aF4zfSBcaW50IGR4ZHlkesUMX3t7XGNhbHtIfX1cbGVxIFV9IGRwX3jEBXnEBXrJQlbIQsUONFxwaX17M30gKFxzcXJ0ezJtVX0pXjM=$

Then, $XE9tZWdhXzEgKFUpID0gXG/JDytkVSkgLcwSxSFmcmFje1xwYXJ0aWFsyR59yhNVfSBcZGVsdGEgVckwVn17aF4zfSAyXHBpICgybSleezMvMn0gVV57MS8yfcgw$

For N( ~ 10²³) particles,

$XG9tZWdhX04gKFUpID0gXGZyYWN7MX17aF57M059fSBcaW50IGReM1x2ZWMgeF8xIFxjZG90c8sTTsUkX3t7XGNhbHtIfX1cbGVxIFV9ySNw0jZwX04KPSAoxm5WxG4zfSleTsd/KDJccGkgbSnkAIMvMn19eyjECCkhfSBVxxM=$

where U = Σ p²/2m, by using the volume equation of hypersphere in 3N dim with radius sqrt(2mU).

Thus,

$XE9tZWdhX04gKFUpID0gXGZyYWN7XHBhcnRpYWwgXG/GHn3KE1V9IFxkZWx0YSBVIFxzaW1lcckmID0oxkBWfXtoXjN9KV5Ox1EoMlxwaSBtVSleezNOLzJ9fXsoxAgpIX0=$

(We can approximate by using the dimension analysis & large number approximation.)

But if we imagine the particles are indistinguishable,

$XE9tZWdhX04oVSkgPSBcZnJhY3sxfXtOIX0gKMYOVn17aF4zfSleTscfKDJccGkgbVUpXnszTi8yfX17KMQIKSF9$

Therefore The Entropy of Ideal Gas with N indistinguishable particles,

$UyhVLFYsTikgPSBrX0IgXGxuIFxPbWVnYV9O$

Using Stirling's formula

$UyA9IE5rX0IgXHtcbG5bXGZyYWN7Vn17TmheM30oxg80XHBpIG1VfXszTn0pXnvGFTN9ezJ9fV0gK8YPNcQPIFx9XCDFAmNkb3Rzxgsg4pGg$

And using

$VSA9IFxmcmFjezN9ezJ9TmtfQlQ=$

$UyA9IE5rX0IgXHtcbG5bXGZyYWN7Vn17Tn0oxgwyXHBpIG1rX0JUfXtoXjJ9KV57xhkzfXsyfX1dICvGDzXEDyBcfVwgxQJjZG90c8YLIOKRoQ==$

① & ② are called the "Sackur - Tetrode equation".

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파라곤9 · 1120098 · 22/10/27 00:21 · MS 2021

허준이는 이런거 쉽게품???

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빅토리아 시크릿 · 1033492 · 22/10/27 00:22 · MS 2021 (수정됨)

그 분은 아마 물리학도 쉽게 잘 하시겠죠?

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파라곤9 · 1120098 · 22/10/27 00:22 · MS 2021

근데 이런거 증명하면 필즈상 받는건가요?

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파라곤9 · 1120098 · 22/10/27 00:22 · MS 2021

이건 물리인가

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빅토리아 시크릿 · 1033492 · 22/10/27 00:24 · MS 2021

통계물리학
20세기 초반에 증명된거라 배운다면 엄청 복잡하진 않으니까 상 받을 내용은 아닌듯?

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빅토리아 시크릿 · 1033492 · 22/10/27 00:33 · MS 2021

②에서 5/2를 ln 안으로 집어놓고 T에 대해 풀면, 엔트로피가 0이 되는 온도 T_c > 0K을 찾을 수 있다.
T_c는 어떤 온도인지 논하시오.

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