1998 Fall MIT QE (QM #2)
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문제 그림에는 원자가 S1, S2, S3로 denote 되어 있지만, 여기서는
로 원자의 notation을 정하자.
주어진
의 관계식으로부터 바로 diagonal term = 0 & non - diagonal term = V인 Hamiltonian을 적고 풀어도 되지만, 문제에서 시키는 대로 rotation operator를 잡고 풀 것이다.
우선
을 Unperturbed Hamiltonian H0 = 0, Perturbation H' = V로 보자면,
전자는 각각의 원자 하나에 머물러 있지 않을 것이라 예상할 수 있다.
Let's define an operator
이 operator는 간단히 생각해서, 0 → 1 → 2 → 0으로 한 칸 밀어주는 operator라 생각할 수 있다.
당연히 Z_3의 symmetry를 가지는 operator이다.
[H, R] = 0으로 commute 하므로, H와 R은 simultaneous eigenvector를 갖는다. 즉,
R을 세 번 가해준 것은 원래 상태와 같으므로 R³ = I (identical operator)이고,
따라서 R의 eigenvalue는1, ω, ω² 이다. 즉,
H와 R은 Simultaneous eigenstate를 가지므로, θ로 denote된 eigenket들을 0, 1, 2 eigenket의 linear combination으로 써주면,
를 간단한 계산을 통해 얻을 수 있다.
처음 예상처럼 θ = 0 (전자가 가만히 있을 때)일 때의 energy가 2V로 가장 높고,
θ = 30°나 θ = 60°(= -30°)일 때의 energy가 -V로 낮아,
전자들이 바로 옆 원자들로 한 칸 움직이려 한다는 것을 볼 수 있다.
θ = 30°와 θ = 60°의 degeneracy는 rotational symmetry로부터 유래한 것이다.
(c)는 TDPT로 간단하게 풀자.
0 XDK (+0)
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