수학2 교과서 개념 정리, 수능 개념 정리 및 증명
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수학2 (함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 접선의 방정식) 관련 내신 개념 정리.pdf
자료 만들다가 공유해두기 괜찮을 것 같아 남깁니다.
<교과서 개념>
1. 함수의 극한
2. 함수의 연속
3. 미분계수
4. 도함수
5. 도함수의 활용 1 (접선의 방정식)
<수능 개념 + alpha>
1. 구간 별 함수의 미분가능성
2. 곱함수의 미분가능성
3. 절댓값 함수의 미분가능성
4. 기함수, 우함수
5. 0/0꼴 극한에서의 미분계수의 정의 활용 (수능 수학 수준에서 로피탈의 정리 대체 가능)
6. 곱함수의 연속성
7. 미정계수의 결정 ((분모)->0일 때 (분자)->0)
8. 미정계수의 결정 2 ((분자)->0일 때 수렴값 0 아니면 (분모)->0)
9. 편미분
10. 대칭성
11. 구간 별 함수의 연속성
+교과서 개념, 수능 개념은 한완수에서 인용한 표현이지만 실제로 <수능 개념 + alpha>에 미정계수의 결정 같은 것들은 교과서 개념으로 분류되었던 것으로 기억합니다. 성질과 관련된 것들을 전자, 그로부터 유도할 수 있는 것들 등을 후자로 확인해주시면 감사하겠습니다!
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이기상 멘트 개져아영 11
이기상 맨날 흑인영어하는데 ㅋㅋㅌㅋㅋㅌㅋㅋ ㅈㄴ 웃김염 ㅋㅋㅋ Kiss my ass...
사랑해요
참고로 9. 편미분 같은 경우 한국에선 대학 미적분학에서 처음 배우는 것으로 알고 있지만, '도함수의 정의'를 활용하는 수2 유형 중 'f(x+y)=f(x)+f(y)+ax^2y+axy^2-bxy+2'과 같은 항등식을 제시해줬을 때 편미분을 활용하면 도함수의 정의를 활용할 때보다 조금 더 빨리 문제를 해결할 수 있어 넣었습니다. 다만 파일에 있는 부분은 도함수의 정의처럼 편도함수의 정의를 써둔 것이고 실제 연산은 밑 영상 참고하시면 좋을 것 같습니다!
https://youtu.be/NKazLqcU-Fk

오래전부터 당신과 같은 보물ㄹ을 기다려왔다우.. 감사합니다논술과 수능을 모두잡는 ㄷㄷ
증명은 한 번쯤 직접 해보시면 학습에 도움이 될 것 같고 결과적으로 수능을 보기 직전에는 자료에 있는 개념들을 활용할 때 '머릿속으로 증명을 훅 훑고 지나간다는 느낌으로' 조건을 잘 확인하고 활용해 문제 풀이 시간을 단축하시면 좋을 것 같습니다. 이를테면 '구간 별 함수의 미분가능성'을 사용할 때 구간 별 함수가 미분가능한지 확인하고, 가능하다면 미분계수의 정의를 쓰는 대신 함숫값이 같음과 미분계수값이 같음을 바로 이용하는 거죠! (그나저나 기본적인 것을 옮겨둔 거라 몇 고2 분들께 도움이 되었으면 했는데 생각보다 많은 분들이 감사를 표해주셔서 신기하네요 ㅋㅋㅋㅋ 잘 활용해주셔서 저도 정말 감사드립니다! 다들 '스킬'에만 의존하지 말고 왜 그런지 '증명'에도 초점을 두셨으면 좋겠습니다)
와 대박이네요... 근데 선생님 혹시 실전에서 로피탈의 정리 사용해보신 적 있으신가요? 아니면 하나의 극한식을 바라보는 색다른 발상 정도로 여기시나요?
고2 올라가며 처음 수2 배울 땐 썼었는데 고3 되고 수능 수학에 대한 이해도를 키워가는 동안은 로피탈의 정리를 사용하기 전에 확인해야할 조건이 까다롭다 느껴서 자료에 있는 '0/0꼴 극한에서의 미분계수의 정의 활용'으로 극한을 처리했던 것 같습니다. 수2 수준에서 로피탈의 정리랑 연산량은 같은데 확인해야할 조건이 조금 더 직관적이고 교육과정 내라는 점에서 마음이 놓였습니다. (개인적인 생각으로 수2는 '미정계수의 결정'과 '미분계수의 정의'에 익숙한 상태를 만든 후 '0/0꼴 극한에서의 미분계수의 정의 활용'으로 맞이하는 극한들을 처리하는 게 이상적이라 느끼고 미적분은 '0/0꼴 극한에서의 미분계수의 정의 활용'을 사용할 수 없는 분모에 있는 함수의 미분계수가 0인 경우 (lim x->0 [tan(x)-sin(x)]/x^3 같은 거) 등에는 인수분해나 유리화 등을 통해 해결하는 것이 이상적이라 느낍니다. 물론 이 예시의 경우 '테일러 전개'를 활용해 다항함수의 극한 꼴로 해결할 수도 있지만 ㅋㅋㅋㅋ 그건 로피탈의 정리보다 더 한 교육과정 밖 내용이니까요! 근데 말하다보니 대표 함수들의 테일러 전개식을 활용한 함수의 극한 처리에 관한 자료를 만들어보는 것도 재밌을 것 같네요, 미적분에서 삼각함수의 극한 처리할 때 1-cos(x)를 x^2/2로 생각하는 것 같은 거도 사실 테일러 전개식에 기반해 설명하면 직관적으로 받아들일 수 있거든요)

연대클라스경제학은 위대합니다 ㅎㅎ
선생님 감사합니다. 혹시 미적도 가능하신가요?
자료의 핵심이 '절댓값 함수의 미분가능성', '구간 별 함수의 미분가능성', '곱함수의 미분가능성' 등 직접적으로 교과서에서 소개하진 않는 개념들에 대한 소개와 증명이라고 생각하는데 이는 미적분에도 똑같이 적용되기 때문에 어떤 내용을 다루는 것이 좋을지 잘 떠오르지 않습니다.
자료의 앞부분처럼 간단히 어떤 내용을 다루는지 정리하고 (수열의 극한에 관한 성질, 급수, 초월함수의 그래프와 극한, 초월함수 미분법, 치환/부분적분법, 구분구적법, 2차원 운동 등) 제가 공부할 때 중시했던 점들을 적어두는 건 마찬가지로 자료의 시작을 열기에 좋을 것 같아요.
중후반 내용의 경우 지금으로서는 초월함수의 극한을 다룰 때 sin(x), tan(x), e^x 같은 것들을 테일러 전개로 전개한 식을 테일러 정리, 테일러 급수에 기반해 소개하는 것, (다항함수)*(초월함수) 같은 식 꼴의 그래프를 미분없이 그리는 법 (대표적인 유형 기억), 치환적분법과 부분적분법 같은 것을 연습하기 위한 [sec(x)]^3 따위의 적분 정도가 떠오르는데 혹시 제가 다루었으면 하는 내용이 있을까요?
+첨언하자면 본글의 자료 뒷부분은 한완수 수1/수2 상중하에 기반해 서술했는데 미적분의 경우 제가 아직 하는 공부하지 않은 상태이고 상도 여러번 공부하진 못한 상태라 이번 자료만큼의 퀄리티 혹은 의미는 지니지 못할 것 같기도 합니다 ㅜ 비슷한 느낌으로 미적분도 제작해 올릴 수는 있겠으나 이번 자료만큼 깔끔하게 정리하기에는 제 내공이 부족할 것 같네요
초월함수를 제가 매끄럽게 다루지 못한다..? 라고 해야하나 그런 느낌이 있어서 한 번 질문을 해 보았습니다. 지금 올려주신 자료만으로도 충분히 감사합니다.
초월함수의 그래프를 매끄럽게 다루는 것과 관련해서는 이 영상을 참고하시면 좋을 것 같습니다.
https://youtu.be/xp7OG3xnC4w
감사합니다
수1이나 다른과목도 해주실수 있나요?
개인적으로 실전 개념과 그에 대한 증명을 공부하는 것이 학습에 큰 도움이 되는 경우가 수2와 미적이라 느끼긴 합니다만 고려해보겠습니다.