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가군 동신한 나군 우석한 다군 상지한 [1121739]

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823543 · 1069866 · 22/09/16 08:17 · MS 2021

사잇값 정리는 필요충분조건이 아니에요
함수 f(x)=4x^2-4x+1은 f(0)=f(1)=1로 f(0)f(1)>0이지만, f(1/2)=0이에요

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가군 동신한 나군 우석한 다군 상지한 · 1121739 · 22/09/16 08:18 · MS 2022

필요충분조건이 되려면, 즉 사잇값 정리를 확실하게 쓸 수 있는 상황이려면 저 문제에서 어떤 조건이 추가적으로 주어져야 하나요?

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Tttrrr · 1013124 · 22/09/16 08:22 · MS 2020

미지수면 안되요

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823543 · 1069866 · 22/09/16 08:23 · MS 2021

사잇값 정리는 애초에 근이 존재한다는 것을 보장하는 데 쓸 수 있는 정리지, 근이 존재하지 않음을 보이는 데 쓸 수는 없는 정리라서 어떤 경우에도 근의 존재성에 대한 필요충분조건이 될 수는 없어요
하지만 저 문제의 ㄷ 선지처럼 "근이 존재한다" 형태를, 구간 양 끝의 값의 부호가 같은 상황에서 참임을 보이려면 구간 중간에 있는, 구간의 양 끝과 부호가 다른 점을 찾는 방법을 사용할 수 있어요
예를 들어, 구간 (0,1)에서 f(x)=8x^2-8x+1의 근이 존재함을 보이려면, f(0)=1이고 f(1)=1이지만 f(1/2)가 음수이므로 이를 사용해서 (0,1/2)에서 근이 존재함을 보이고, 이를 통해 원래 명제의 진위를 판정할 수 있어요

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TIMTOWTDI · 1138981 · 22/09/16 08:55 · MS 2022

보통의 경우 f'으로 부터 f의 정보를 유도할때에는 평균값 정리를 f로 부터 f'정보를 유도할때에는 미분계수의 정의를 이용해야합니다

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TIMTOWTDI · 1138981 · 22/09/16 08:56 · MS 2022

또한 사잇값 정리는 필요충분조건을 보장해주지 않으므로 거짓을 밝힐땐 쓸 수 없습니다.

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TIMTOWTDI · 1138981 · 22/09/16 09:05 · MS 2022 (수정됨)

ㄷ. 선지의 가장 간단한 접근법은 이렇게 하는것인것 같습니다. f(0)=0으로부터 열린구간(0,1)에서의 실근의 존재성을 묻고 있으니, g(1)=f(1)이므로 -f’(0)* f(1)의 부호를 판정해야합니다. 주어진 정보만으로는 두 곱이 음수임을 “보장”하지 못하므로 반례제시를 해볼 여지가 생깁니다.

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기대 T · 416016 · 22/09/16 09:12 · MS 2012 (수정됨)

사잇값정리로도 보일 수 있습니다.
ㄷ에서, g(1/2) 조사해보시면 사잇값정리를 0~1/2, 1/2~1 사이에서 총 2번 써먹을 수 있게돼서 오히려 더 강력한 조건을 증명할 수 있습니다. (근이 적어도 2개 존재한다를 증명)
그렇기 때문에, 정답으로 가는 길에서 학생이 중간단계에서 멈춘 셈이므로, 앞으로 사잇값정리를 거짓을 판명하는 데에 사용할 순 없다라고 배워가심 됩니다

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씅쌍 · 1074300 · 22/09/16 10:01 · MS 2021

우진t 왈
사잇값정리는 변수가 있을 땐 사용할 수 없다. 평균값 정리 써야한다.

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