간단한 불연속 문제 질문입니다

Question

f(x) = -x^2+1 (x>0)

0 (x=0)

x^2-1 (x<0)

이럴 때 f(f(x))가 불연속인 점이 몇개냐를 찾는건데요

답지에는 곧바로 f(x)=0인 점에서 불연속이다 그러므로 x=-1, 0, 1에서 불연속이다

이렇게 해놨더라구요

근데 저는 x=-1, 0, 1에서 불연속일 가능성이 있다고 생각해서 일일이 다 조사해봤고

그나마도 f(f(x))가 x=0에서는 함수값 좌우극한 전부 0나와서 연속이다 라고 해버렸는데

좀 피곤하고 멍한 상태에서 풀어서 그런가 아무리 해도 함, 좌, 우 전부 0나오던데 말이죠

제가 뭔가 실수한건가요? 왜 x=0에서 불연속인가요?

그리고 왜 f(x)=0인 모든 x(=-1, 0, 1)에서 불연속인게 확정인가요?

일일이 다 조사해봐야 되는거 아닌지

지사의 · Accepted Answer

f(f(x))의 불연속을 조사하기 위해서 일단 f(x)의 불연속점을 조사해 봅시다
문제의 조건에 따르면 함수f(x)는 x=0일 때 불연속이군요
그렇다면 함수 f(f(x))는 f(x)=0일 때 불연속일 가능성이 매우 높습니다
그에 따라 f(x)=0인 경우인 x=-1,0,1을 함숫값과 좌우극한값을 넣어보면 모두 불연속이므로 x=-1,0,1에서 불연속입니다

Mercredi · Answer

x=0에서 연속 맞는거 같네요. 답지가 틀린듯. 이런 문제 연속 체크는 f(x)가 불연속인 x값들과, f(x)가 그 값들과 같아지는 x값들이 불연속점 후보가 되고 실제로 불연속인지는 체크를 해봐야되죠. 님 방법이 맞습니다.

아탈란테 · Answer

일단 두분 답변 감사합니다

저도 '불연속점 후보'라는 개념을 갖고 
항상 저러한 합성함수 불연속 문제를 대해왔는데 
해설을 보니까
저런식으로 불연속점 후보에 대한 언급 없이 바로 답을 내버린데다가
그나마도 x=0에서는 연속판정이 나서 혼란스러웠는데

두분 답변이 다르시네요 ㅎ; 끝까지 혼란스럽습니다

간단한 불연속 문제 질문입니다

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