110925(가)를 풀어보자
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공간도형 문제입니다.
일단 직선 m 위에, 사각형 BACE가 직사각형이 되도록 점 E를 잡읍시다.
이렇게 하면 직사각형의 성질에 의하여 선분 BE의 길이는 5, 선분 CE의 길이는 2루트2입니다.
또한, 주어진 그림에서 두 직선 BD, BE가 모두 직선 AB와 수직입니다. 여기서, 세 점 B, D, E를 포함하는 평면 위의 모든 직선이 직선 l과 수직입니다.
즉, 직선 DE도 직선 l과 수직입니다.
세 직선 l, m, n이 서로 평행하기 때문에, 직선 DE는 직선 m과 평행하고, 직선 n과도 평행하다는 결론에 도달합니다.
선분 DE가 직선 m에 수직이므로, 삼각형 CDE는 직각삼각형입니다. CD=3이고 CE=2루트2이므로 선분 DE, 즉 두 직선 m, n 사이의 거리는 1입니다.
여기서, 사각형 ECFD가 직사각형이 되도록 직선 n 위에 점 F를 잡읍시다. 그러면 선분 CF의 길이 역시 1입니다.
이때 선분 FD의 길이도 2루트2가 되며, 사각형 BAFD 역시 직사각형이 됩니다. 즉, 선분 AF의 길이는 4루트2입니다.
점 A에서 두 직선 m, n을 포함하는 평면 위에 내린 수선의 발을 H라고 하면 세 점 H, C, F는 한 직선 위에 있게 됩니다.
두 선분 AH, HC의 길이를 각각 a, b라고 하면 피타고라스 정리에 의하여 다음이 성립합니다.
둘을 연립하면 a=4, b=3이 나옵니다.
두 직선 m, n을 포함하는 평면과 세 점 A, C, D를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 구해야 하는데, 이는 정사영으로 가능합니다.
삼각형 ACD의 두 직선 m, n을 포함하는 평면으로의 정사영은 삼각형 HCD입니다. 그러므로 cosΘ는 (삼각형 HCD의 넓이)/(삼각형 ACD의 넓이)로 구할 수 있습니다.
우선 삼각형 HCD의 넓이는 쉽게 구할 수 있습니다. 선분 HC의 길이가 3이고 점 D와 직선 HC 사이의 거리가 2루트2이니...
입니다.
삼각형 ACD의 넓이를 구해야 하는데, 삼각형 AFD가 직각삼각형이라는 점을 활용하여 선분 AD의 길이를 구할 수 있고, 그 값은 2루트10입니다. 삼각형 ACD에서 각 C에 대하여 코사인법칙을 적용해 봅시다.
이때 삼각형 ACD의 넓이는
입니다.
즉,
이고, 여기서
입니다. 따라서 구하는 값은
입니다.
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기하까지 깔끔하시다니공간도형 풀이는 이게 처음인 것 같습니다... ㅎㅎ
정사영으로 푸는건 한참 돌아가서 푸는풀이같은데 보통 이면각으로 해설지가 풀어서 다른 방식으로 풀어본건가요?
그림을 봤을 때, 이면각으로 풀기는 어려울 것 같다는 생각을 했습니다.