라즐리 [1084527] · MS 2021 · 쪽지

2022-08-12 21:09:00
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211220(가)를 풀어볼까?

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21수능 당시 매우 어려웠던 문제입니다.

일단 y=f(nx)의 그래프를 그려 볼까요?

x>0인 부분만 그렸지만, 대충 이런 모습입니다.

빨간색으로 체크한 부분은 넓이가 모두 같은데요, 0<x<1에서 이렇게 빨간색으로 체크된 부분이 2n개 있고 마찬가지로 -1<x<0에서도 2n개 있습니다.

그럼, 빨간색으로 체크한 부분 하나하나의 넓이가 각각 얼마일까요?

네, 1/n입니다.

그리고 빨간색으로 체크한 부분이 모두 4n개 있는데, x축의 위쪽에 있는 것은 그것의 절반인 2n개입니다.

f(nx)g(x)를 -1부터 1까지 정적분하면 2가 나온다고 하는데, 2가 나오려면 g(x)를 어떻게 해야 할까요?

빨간색으로 체크한 부분 하나하나의 넓이가 1/n이고, 이것이 2n개 있다면 넓이의 총합은 2입니다. 이때, x축의 아래에 있는 부분은 버려야 합니다.

즉, 함수 g(x)는 f(nx)>0인 경우 g(x)=1, f(nx)=<0인 경우 g(x)=0으로 하면 됩니다. 이렇게 하면 f(nx)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이라는 조건도 만족하게 됩니다.

xh(x)를 적분해야 하는데, 일단 y=f(nx)g(x), y=x가 그림과 같이 생겼습니다. g(x)=0인 경우에는 적분값이 0이 되기 때문에 g(x)=1인 구간만 찾아서 적분하기에는... 좀 어려워 보이는군요. 만약에 g(x)가 없다면 어떨까요? y=xf(nx)의 그래프를 그려 보았습니다.

y=xf(nx)의 그래프가 그림과 같이 y축에 대하여 대칭인 모습으로 나타나는데, 여기에 g(x)가 곱해지면 O로 표시된 부분은 살아남고, X로 표시된 부분은 죽게 됩니다.

그런데, 좌우가 대칭이기 때문에 왼쪽에서 O로 표시된 부분을 오른쪽에서 X로 표시된 부분에 붙일 수 있습니다.

그래서 결국 다음과 같은 결론이 나옵니다.


즉, n=16입니다.

0 XDK (+1,000)

  1. 1,000