misssss [936078] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2022-08-09 12:14:22
조회수 5,719

테일러 급수로 풀리는 킬러 하나 - 2018 6월 가형 21번

게시글 주소: https://orbi.kr/00057921355

평소에 N축과 로피탈, 테일러 등 어둠의 스킬을 지양하는 편이라

2~3년 가까이 묻어뒀던 풀이인데, 갑자기 기억나서 적어왔어요.

(사실 새벽에 일하기 싫어서 써왔어요)

타임킬링용으로 봐주시고, 절대 테일러를 주력으로 쓰지 말아주세요

제 간곡한 부탁이에요.


테일러 급수가 어떤 건지는

(https://orbi.kr/00057665353)

여기에 가볍게 적어뒀어요.





제가 여러 선생님들께 풀이를 들어왔지만

모든 분들께서 제각각 다르게 풀어주셔서 인상깊었던 문제에요


테일러를 처음 알았을 때 뭔가 이걸로 풀릴 것 같아서

바로 시도해봤다가 피를 많이 봤고,

제대로 쓰는 법(필요없는 부분 R(x)로 두기, 계획해서 쓰기)을

알고 나서야 겨우 풀 수 있었던 것 같아요 ㅠ




Step 1. f(x) 대략적으로 알아내기



첫 번째 조건이 이니까

(x-1)에 대하여 계수를 정리하고 시작하면





이제 주어진 식을 다음과 같이 정리하고....





적당히 생각하다보면 


이게 보일 거예요.

어쨌든 (x-1)^3을 인수로 가진다는 것이니

일회용 변수인 a_3을 안 쓰고, 1이 아닌 실수 p에 대하여 

f(x)와 관련된 식들을 이렇게 쓸 수 있겠어요.





첫 조건 해석은 일단 여기까지!




Step 2. g(x)sinx를 다항함수 형태로 표현하기



두 번째 조건에서는 이니까 g(x)를 x에 대해 정리하고,




이제 테일러를 가볍게 써볼 차례에요.


(근사 기호를 싫어해서 저렇게 써요 저는)

여기서 갑자기 등장하는 R_1(x)는



이렇게 표현되는 차수가 무한대인 다항함수 형태의 부분이에요.

말 자체가 너무 모순이기도 하고,,, 


4차항 이상은 쓸 일이 정말 거의 없다시피 해서  

그냥 테일러 쓸 때 나오는 부산물(?)로 생각해주시면 될 것 같아요.

중요하게 작용할 일은 없으니, 이 풀이에서 나오는 (x^n)R(x)들은 

'n차 이상의 항들이다'라는 것을

약간의 엄밀함을 위해 써주는 메모 정도로 알아주세요!!

R1, R2, R3 등등은 자세하게 쓸 필요가 전혀 없어요.


어쨌든 이러면 g(x)sinx를 초월함수 없이 표현을 할 수 있어요.



R_2(x)와 R_3(x)도 똑같이 다항함수 형태의 크게 의미 없는 식이에요.




Step 3.  생각하면서 f(x) 확정하기



g(x)sinx를 알았으니, G'(x)를 다음과 같이 나타내면




일 때 이고,


이어도



이렇게 되다보니,,

이면 다시 ,


일 때도...



이면 으로 가요.



b0=0이 아니면 무한대,

b0=0이어도 b1=0이 아니면 무한대,

b0=0이고 b1=0이어도 b2=0이 아니면 무한대,

다 0이어도 사차항이 대놓고 1이어서 무한대로 갈 수밖에 없으니

g(x)의 계수들과 전혀 관계 없이 이네요.




그럼 이게 무한대/무한대 꼴의 극한이니까,




여기에서 p=0일 수밖에 없어요.



f(x)가 확정됐네요.




Step 4. 계산하고 마무리



이제 할 게 없어요.





왼쪽 분수 극한이 1로 가니까,,

아까 f(x) 처음 계산했을 때처럼 계수가 보여요.




f(3)+g(3)=24+27=51, 답은 4번이네요.




더 이상 할 공부가 없고 나머지가 완벽하다면

Plan D 정도로 연구해둬도 괜찮긴 하지만

현장에서 쓰기 적절한 풀이는 아니니까,

그냥 가볍게 읽고 (좋아요는 누르고) 넘겨주세요!



+ 수식 쓰느라 힘들었어요.



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