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히라사와 유이 [1126037] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2022-07-25 12:37:02
조회수 24,275

(초보칼럼) 07들을 위한 복소평면

게시글 주소: https://orbi.kr/00057707703

안녕하세요

이번 6월 모의고사에서 50분만에 수학 100을 받고

내신에서도 수학 1등급을 받은 일반고 학생입니다.

여기에는 수학에 정통하신 분들이 많아서

몇가지 생각지 못한 오류가 있을 수 있으나

제 후배들을 위해 최대한 정확한 내용을 기술하였습니다.


복소수를 지금 쯤 배우시는 07 08 들이 많을 거라고 생각되는데요

복소수...제곱 하면 -1이되는 수가 생소하면서도

그것을 계산하고,,, 이차방정식에도 넣고... 

여러가지를 하면서 힘든 파트 중에 하나 일 것 같습니다.

그 중에서 단연 어려운 것을 고르라고 하면 

복소수의 규칙 찾기인데요

i를 4제곱 하는 것 부터 시작해서

w(오메가) 를 3제곱 하는 것 까지...

그것을 함수에도 넣고,,, 다 더하기도 하고...

머리가 터질 것입니다.

수능에서 별로 중요하지 않은 부분이라고

하지 않기도 뭐하죠.








그런데 이것을 효과적으로

아주 빠르게 쉽게 풀 수 있는 방법이 하나 있습니다

복소평면이라고 하는, 지금은 사라진 교육과정에 그 해답이 있는데요

흔히 데카르트 좌표계라고 말하는 

우리가 흔히 쓰는 x축 y축에 실수를 대입하여서 

얻은 평면이 아닌

y축에 허수부(lm) 을 넣어서

한 좌표평면 위의 점에 한 복소수를 지정하는 좌표평면입니다.

여담으로 저희 옆에 있는 고등학교는 서술형에 써도 된다고도 하셨다네요.



본격적으로 복소평면에 대한 '기본적'설명만 해보겠습니다.

실제로 복소평면을 배우는 것이 아니라 

고1 문제에 어떻게 '적용' 할 것인지가 주가 되기 때문에

너무 깊게 들어가지 않으려 합니다,.










1. 복소평면이란 무엇인가?


우리는 x2=-1 를 만족하는 x의 값 중 부호가 양수인 것을 'i'라고 부릅니다(또는 j)

이것은 '실제로 존재하지 않는 수'이기 때문에 허수단위라고 부릅니다.

우리가 '실제로 존재하는 수'는 실수라고 하고, 이에 허수를 합친 것을 복소수라고 하죠.

이때 1+2i를 수직선 위에 올려 놓으라고 누군가 한다면,

어떻게 해야할까요?

1은 수직선 위에 올릴 수 있는데, 1+2i라니, 

여러분들은 말도 안될 것이라고 생각할 겁니다.

하지만 '평면'이라면?

수직선 위에 평소대로 1을 놓고,

y축 위에 2를 놓아

둘의 순서쌍(1,2)을 1+2i로 정의한다면?

네. 그것이 복소평면입니다.

복소수가 하나의 순서쌍으로 나타내어지죠.

이때 x축은 실수를 놓을 것입니다. 1+2i에서의 1이죠. 

이를 Real number에서 R을 따와 R이라고 합니다.(Re라고 하셔도 됩니다.)

그리고 y축에는 허수'부'를 놓을 것입니다. 1+2i의 2죠.

이를 Imaginary number에서 Im을 따와 Im이라고 합니다.

<figure 2>






2. 복소수의 연산을 어떻게 할 것인가?


복소수끼리는 연산이 가능합니다. 

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 모두 가능하죠(엄밀히 따지면 더 복잡하지만, 일반적으로 나눗셈은 가능합니다)

하지만 복소평면에서의 덧셈은?

네. '벡터합'으로 나타내어집니다만 (평행사변형을 만들거나, 실수부와 허수부끼리 더하시면 됩니다.)


하지만 우리가 원하는 것은 덧셈이 아니죠.

문제를 풀 때 곱셈을 자주하게 됩니다.

곱셈은

'돌려돌려 돌림판' 메타입니다.

이말인 즉슨, 고2 때 배우는 '동경'개념에서

그 각의 크기를 편각이라 하는데, 

쉽게 말하자면 

복소평면 위의 한 복소수가 있다면

Re축과 원점, 그리고 그 복소수와 원점을 이은 선의

각도를 얘기합니다. (항상 "시계 반대 방향"으로 재시기 바랍니다)



3. 어떻게 적용할 것인가?


이것을 적용할 곳은 무궁무진합니다.

벌써 몇몇 분들은 이미 루트를 이용해서 크기를 구하고

편각도 더한다고? 하면서

피곤하실 수도 있겠습니다.

하지만 우리가 고1 규칙 문제에서 보는 복소수들은 

크기가 '1'입니다.

정말 놀랍게도 거의 1이 나옵니다.

왜냐? 곱했을 때 계속 1이 나와서 

계속 곱하게 하기 위함입니다.

그러면 우리가 신경쓸 것은 무엇이다?

'편각'만 계속 더해주시면 됩니다.

결국 크기가 1이기 때문에 단위원(반지름의 크기가 1인 원)위를

복소수가 움직이는 것 처럼 보입니다.


i가 하나의 가장 대표적인 예시입니다.

루트(0+1)=1이라서 i또한 크기가 1입니다

교과서에서 i의 규칙성을 이야기 할 때

이렇게 돌아가게 표현한 것이

이 복소평면 개념에 기저합니다.

<figure>

보시다시피, i가 곱해짐에 따라 편각 90도가 더해지면서, 계속 순환하는 형태가 나옵니다.


i뿐만 아니라 여러 규칙을 갖는 복소수들이 많습니다,



#1. x2+x+1=0

두근의 편각은 각각 120도, 240도 입니다. 이것을 세번 곱하면

120x3=360(도) 이므로 다시 원래 시작한 곳으로 돌아가죠. 

즉 이들의 '주기'는 3번 곱하기 입니다.

#2 x2-x+1=0

두 근의 편각은 각각 60도, -60도 입니다.

즉 이것들의 주기는 60*6=360에서 6이라는 뜻이죠.

#1과 #2는 헷갈리기 때문에, 꼭 구분해서 계산하시면 좋겠습니다.

#3. 

이것은 편각이 45도입니다. 주기가 8입니다.

#4.

이 복소수를 시험장에서 만나신다면 계타셨습니다. ㅋㅋ

복소수만으로 풀면 훨씬 오래걸리는 수입니다.(물론 다 곱하지 않는 방법도 있습니다)

하지만 복소평면의 개념을 적용하면? 거의 시간이 1/4로 줄 것입니다.

이것은 편각이 30도입니다. 주기가 자그마치 12나 되죠.






<참고>

참고로, #1~#4의 복소수들을 

주기에 해당하는 것들로 모두 더하면

모두 '0'이 나옵니다.

예를 들면, 120도 짜리 복소수를

1제곱+2제곱+3제곱+...+100제곱

을 구해야 한다면 

1제곱+2제곱+3제곱이 0이고 4제곱은 곧 1제곱이므로

결국 100제곱만 남아서

1제곱의 값만 구하면 됩니다.




4. 어떻게 풀 것인가?

제가 대표적인 기출을 몇 가지 가져왔습니다.


1.

이 문제는 볼 때 억 소리가 저절로 나옵니다.

그냥 다 곱해보면 시간이 너무 오래 걸릴 것 같고... 

또 답이 나왔어도 이게 진정한 최솟값이 맞는지 갈팡질팡할 수 있는 문제입니다.

문제에서는 원래의 수가 되라고 하였으므로 버튼을 눌렀을 때

1이 되어야 합니다.

A에 해당하는 복소수의 편각은 45도,

B에 해당하는 복소수의 편각은 135도입니다.

이거를 돌려서, 360도를 만들어야 하는 것이죠.

곱한 값이 최소가 되려면

상식적으로 B를 우선 돌려봐야 할 것 같습니다. 

크게크게 더하고 작은 것을 더하는 느낌으로요.

그러면 B는 2번 더하면 벌써 270도 까지 왔습니다.

그리고 A를 2번 더하면 90도가 추가되어 1이나옵니다.

즉 4가 되겠네요. 

물론, 곱하는 순서는 문제가 되지 않지만 문제를 풀 때는 이러한 식으로 가야합니다.







2. 

식을 잠시 변형하면 

첫째 식처럼 됩니다.

이 둘은 아까 3 파트에서 보았던 복소수 들인데

왼쪽은 8마다 1이되고, 오른쪽은 12마다 1이된다고 하였습니다.

그려면 8과 12의 최소공배수인 24가 n의 최솟값이 되겠네요.

둘 다 1이되어야 더했을 때 2가 나오니까요 ㅎㅎ


3.

이 복소수의 크기는 cos제곱 + sin제곱 이므로 1입니다.

즉 이번에도 편각만 더해주면 되는데, 편각이 1도인 것을

삼각비를 활용하여 알 수 있습니다.

-i의 편각은? 네. 270도 입니다.

즉 이것을 270번 곱하면 -i가 나오므로, 

n은 270, 630, 990의 3개네요.

 








복소평면은 오일러 공식에도 적용할 수 있다만...(e^ix) 

너무 극심화이기 때문에 별로 쓰일 수는 없겠습니다.














이 세 문제를 풀어봤는데, 아직 

이것이 안 와닿는 07 08들이 대부분일 듯 합니다...ㅠㅠ

제가 당부드리고 싶은 것은

이 복소평면을 규칙성을 찾는 문제에 넣는 시도를

계속 해보면 좋겠습니다.

비록 크기가 1이 아니더라도, 지수법칙을 활용해

우리가 아는 복소수로 만드는 풀이법도 있습니다.

정말 거짓말이 아니라, 규칙성 문제는

최근까지 꾸준하게 출제되고 있고,

아마도 거의 모든 학생이 모의고사나 내신시험에서

보게 될 것입니다.

친구들이 12제곱까지 하면서 더하고 있을 때,

멋지게 복소평면을 '그려'서 '돌리'십시오.

최상위권으로 가는 발판이 반드시 될 것입니다.

부족한 제 설명 봐주셔서 감사합니다.

-유이 올림-



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