fib

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만약 f:X->Y 가 continuous map이라고 하면 f는 두가지 방식으로 쪼갤 수 있는데, 첫번째는 X->M_f->Y로 여기서 M_f는 f의 mapping cylinder. X->M_f는 inclusion이고 M_f->Y는 natural projection. 그렇게 되면 X->M_f는 cofibration이 되고, M_f->Y는 homotopy equivalence가 됨. 두번째는 X->N_f->Y로 여기서 N_f는 mapping path space로 f:X->Y와 Y^I->Y (f to f(0))의 pullback을 말하는 것. X->N_f는 x->(x,c_{f(x)}) (여기서 c_{f(x)}는 f(x)값인 constant map) 그리고 N_f->Y는 (x,T)->T(1). 그러면 X->N_f는 homotopy equivalence이고 N_f->Y는 fibration이 됨.

따라서 임의의 map f:X->Y는 X나 Y를 up to homotopy로 좀 바꿔서 fibration이나 cofibration으로 바꿀 수 있음. 전자는 fibrant replacement, 후자는 cofibrant replacement라고 함. 사실 이 용어 자체는 꽤 예전에 들었지만 뭔지는 모르고 있었는데 이걸 뜻하는 말인지는 꽤 최근에 알게 됨. 용어 자체는 모델 카테고리에서 나오는걸로 아는데 살면서 그걸 제대로 볼 기회가 있을지는 의문