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lasnleeje1 [522562] · MS 2014 · 쪽지

2015-02-27 18:20:24
조회수 2,045

정사각형을 원점중심으로 회전했을때

게시글 주소: https://orbi.kr/0005760973


사진에 표시된 8개의 변의 길이가 모두같음을 증명할수있는방법이 뭔가요?

부탁드립니다ㅠㅠ

(정사각형의 두 대각선의 교점은 원점위에 위치합니다.)

직관적으로 항상 당연하게 여기고 있었는데

막상 증명하려니 막막하네요..

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lasnleeje1 [522562]

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  • 우와와아아 · 464505 · 15/02/27 18:29 · MS 2013

    저 길이를 빗변으로 하는 직각 삼각형이 모두 합동임을 증명 할 수 있으니 모두 같죠.

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  • lasnleeje1 · 522562 · 15/02/27 18:35 · MS 2014

    합동임을 어떻게 증명할수있는지 자세히 알려주시면 감사하겠습니다!!

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  • 우와와아아 · 464505 · 15/02/27 18:40 · MS 2013

    모두 한 각이 직각이고 한변의 길이가 같고 한 각의 돌린각 @로 같으니 ASA합동이죠.

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  • lasnleeje1 · 522562 · 15/02/27 18:43 · MS 2014

    일단 세각이 같아서 8개모두 닮음이란건 알겠지만 한변의 길이가 같다는 조건은 어디에도 없는데요...? 저기 같다고 표시된건 같은게 아니라 같다고 증명해야되는변이구요..

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  • 우와와아아 · 464505 · 15/02/27 18:49 · MS 2013

    아아 잘못생각했네요 그럼 귀류법으로 가죠 큰 정사각형 한변의 길이가 예를 들어 k이고 저 8 개 중 하나를 a 또다른 하나를 b라잡으면 a(1+cos@+sin@) = b(1+cos@ + sin@) = k 이고 a,b가 다르다면 모순되므로 a=b 즉 8개의 변은 모두 같은 길이

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  • lasnleeje1 · 522562 · 15/02/27 18:56 · MS 2014

    ㅠㅠ 한변의 길이를 k로 두고 a (1+cos@+sin@)=k 는 잠정적으로 합동이라는 결론이 있을때 사용가능한 식아닌가요.?

    한 변 위에 있는 세삼각형의 빗변의 길이가 같다고 두고 acos@, asin@,a를 각각 다른삼각형에서 구한거니까요...

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  • 우와와아아 · 464505 · 15/02/27 19:12 · MS 2013

    ㄷㄷ 그렇군요 뻘짓만 했네요 이런 그럼 좀 귀찮지만 가능한 방법으로는 정사각형과 직교축의 교점을 대충 (1,0) (0,1).. 이렇게 잡고 각각 정사각형의 교점이 내분점벡터를 응용하면 나오니까(@돌리고 루트2배) 그걸로 길이 같다 증명하면 되겠네요.

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  • 우와와아아 · 464505 · 15/02/27 19:28 · MS 2013

    아아 그리고 저 빨간변들에 내점하는 원을 그린다음 정사각형의 대각선과 돌린 정사각형의 대각선을 이용해서도 구할 수가 있넨요. 원래 정사각형의 1사분면 꼭지점을 (1,1)이라 하고 (0,0)에서 x=1을 @만큼 돌린 직선의 부분집합으로 존재하는 돌린 정사각형의 한 변 그리고 y=1의 부분집합으로 존재하는 원래 정사각형의 한 변에 (0,0)에서 각각 수선의 발을 그리면 수선의 길이는 같고, 그 길이를 반지름으로 하는 원을 그리면 두 접선이 생기고 두 접선의 교점 ( 1사분면에 존재하는 원래 정사각형과 돌린정사각형의 교점과 동일) 과 (0,0)을 이은 선분이 접선이 이루는 각을 이등분합니다.
    이 때 (1,1), 그것을 @만큼 돌린 점을 (0,0)과 각각 이은 선분(선분1,2)은 아까의 원에 접하는 접선의 수선 두개와 각각 45-@의 각을 이루고 있으니 선분1,2가 이루는 예각도 이등분되죠.
    따라서 같다고 보이고자 한 두변을 a,b라 놓으면 asin@=bsin@가 되어서 a=b
    그림을 그릴 수가 없어서 힘들지만 얼추됐네요 흑..

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  • lasnleeje1 · 522562 · 15/02/27 19:37 · MS 2014

    수고하셨어요.. 대단하시네요 (..!)

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  • 돌고래‡ · 425208 · 15/02/27 19:47 · MS 2012

    이생각 맞는지 모르겠어요 그냥 갑자기 떠오른 생각인데

    하나는 하나를 세타만큼 회전한건데 이게 돌리고 뒤집다 보면 누가 누군지 구별이 안되지 않나요
    그러니깐 인접한 두 변만을 보자면 하나가 하나보다 크다 하면 이게 서로 바꿔서 생각할 수 있는데
    그렇게 생각하면 하나가 하나보다 작게 되니 모순이 되어 결국 같다 라고 할수 있을까요
    되게 이상한 생각인것 같긴 한데

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  • 귤뀰귤 · 523618 · 15/02/27 20:44 · MS 2014

    흠 간단하게 맞꼭지각으로 합동 끌어내면 안돼나요

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  • lasnleeje1 · 522562 · 15/02/27 20:51 · MS 2014

    합동이 안되요 변의길이를 아무것도 모르니까

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  • 귤뀰귤 · 523618 · 15/02/27 20:53 · MS 2014

    아 걍 닮음이네요

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