미적분 고수 들어오세요 젭알..

Question

1. 변곡점이 존재한다고 보장이 되어있는 상태에서   이계도함수=0인 의심점들을 조사하고 만약 그 의심점이 1개라면 거기가 빼박 변곡점이다!   라는 것은 이계도함수가 연속이 보장될 때 할수 있는거 아닌가요? (by 사잇값 정리)  2.1번의 제 질문이 정답이라면 이계도 함수의 연속성을 확인하려면   원함수의 미분가능 갖고는 판단이 안되잖아요.    도함수가 미분가능해야 이계도가 연속 보장되는거 아닌가요?    "원함수 미분가능" -> "도함수 연속" 만 뽑아낼 수 있으니까요  3.그러면 1번의 확인법 사용하려면   도함수의 미분가능까지 확인해야 하는거 맞나요?  4.  실전에서는 그냥 원함수가 미분가능한데 도함수가 미분불가한 경우는      수능에 나올리가 없겠지~ 하면서(? 사실 모름, 안나오나요?)     원함수 미분가능만 체크하고 1번 확인법 사용해도되나요?

배갓민 · Accepted Answer

1번: 맞죠. 그런데 실전에서 만날 함수는 거의 다 구간함수로 주어질 텐데 각 구간에서의 함수는 초월함수든 다항함수든 원함수,도함수,이계도함수 전부 미분가능이니 이계도=0인 지점이 변곡점이라고 치고 나가면 되죠. 함수가 바뀌는 그 x에서 특이하게 변곡점이 될 수도 있는데 이 때는 좌우 이계도함수가 동시에 0이 되면 변곡점이 될 거구요.

ori123 · Answer

1. 맞음 변곡점의 정의는 도함수의 증감이 바뀌는 부분이고 따라서 도함수가 미분 불가능한데 증감이 바뀌는 지점에서도 또한 변곡점이 생길 수 있기 때문에

미분 불가능한데 증감이 바뀐다는건 이계도함수가 연속이 아니라는 말이고 이에 따라서 님 말이 맞음.

2. 맞음 도함수는 원함수의 모든 점에서의 미분계수를 구한 점들의 연속임.
(따라서 도함수에서는 존재할 수 없는 그래프 유형이 있음.)
3. 위에 따라서 도함수 또한 모든 점에서 미분가능하다면 도함수의 도함수인 이계 도함수는 '연속'이 될 수 밖에 없음.

4. 원함수가 미분가능한데 도함수가 미분 불가능한 경우는 충분히 나올 수 있음.
도함수 자체가 절댓값 등에 의해서 미분 불가능한 지점이 생긴다고 원함수가 안그려지는 건 아님. 그렇기 때문에 특히 적분 파트의 어려운 문항에서 나올 가능성이 있음.

다시 말해서 변곡점은 기울기가 작아졌다가 커지는(반대도) 그 지점. 도함수의 극대, 극소 지점(극대 극소 지점은 미분불가능한 지점도 포함). 이 정의만 기억하면됨.

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