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불연속미분가능 [1007587] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2022-07-10 16:24:02
조회수 37,597

레전드라고 구전되는 수학 본고사 문제

게시글 주소: https://orbi.kr/00057513635

여기서 언급하는 문제는 당시 문제가 나왔을 때 큰 파장이 되었던 문제들로, 지금 보기에 고전적인 문제도 있을 수 있지만 당시에는 센세이셔널했던 문제들 모음입니다. 





1999년 도쿄대학 문이과 공통 전기 제1문


(1) 일반각 θ에 대해서 sin θ, cos θ,의 정의를 기술하라.

(2) (1)에서 정의한 기술을 바탕으로 일반각 α, β에 대해 삼각함수의 덧셈정리를 증명하라.


이 문제가 레전드로 뽑히는 이유는 바로 다음과 같습니다.

중학교 때 배우는 삼각비가 동대 입시문제? 물로켓이노 ㅋㅋㅋ 하고 접근하면 안 되는 것이, 바로 (1)번에서는 직각삼각형이 아닌 "일반각"에서의 사인과 코사인의 정의를 기술하라고 하고 있기 때문입니다. 또한 이 문제는 그저 공식을 암기하고만 있던 학생들에게 빅엿을 멕인 증명 문제로, 이후 수험생들에게 있어 증명에 대한 이해는 필수가 되었습니다.





2003년 도쿄대학 이과 전기 제6문


원주율이 3.05보다 크다는 것을 증명하라.


2003년 유토리 교육이 시작되면서 일본 소학교 교육에서는 무조건 원주율을 3으로만 사용한다라는 교육과정이 발표되었습니다. 이런 결정에 도쿄대가 코웃음치듯 이런 문제를 출제한 것입니다. 이 문제는 이후 도쿄대학을 상징하는 문제로 자리잡았습니다. 





2016년 교토대학 이과 제2문


소수 p. q에 대해서 

으로 표현되는 소수를 모두 구하여라.



이 문제가 회자되는 이유는 '모두 구하여라' 문제이지만 답이 (2,3), (3,2)밖에 없었기 때문입니다.




2020년 교토대학 문이과 공통 제5문


가로 4칸, 세로 4칸으로 이루어진 격자 각 칸에 1,2,3,4의 숫자를 채워나간다. 이 칸의 가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 하자. 어느 행이나 열이든지 같은 숫자가 한 번밖에 나타나지 않도록 하는 경우의 수를 구하시오. 


누가 봐도 조합론 문제. 이 문제는 어려워서 여기 있는 건 아니고 풀이 방법이 굉장히 다양하기 때문이라네요. 행렬로 푸는 방법도 있다고 합니다.



2019년 도쿄대학 이과 제1문


다음 정적분을 구하여라. (위 그림 참조)


이 문제는 한마디로 계산 문제. 1번의 압도적인 비주얼에 당황한 학생들이 일단 계산 빨리 끝내자! 하고 달려들었다가 시험시간이 끝나는(...) 매우 복잡한 계산량을 자랑하는 문제였습니다. 



2006년 교토대학 후기 


tan 1도는 유리수인가?


문제의 길이는 굉장히 짧지만 임팩트는 굉장히 강했던 문제. 귀류법, 수학적 귀납법, 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 쉽게 풀리는 문제로 아이디어를 생각해내기 어려웠습니다.




1995년 교토대학 문과 후기 제4문(30점)


자연수 n에 대하여 함수 f(n), g(n)을

f(n)=n을 7로 나눈 나머지

g(n)=위에 적혀있는대로

라고 정하자. 


(1) 모든 자연수 n에 대해 f(n^7)=f(n)임을 보여라.

(2) 당신이 좋아하는 자연수 n을 하나 골라 g(n)을 구하여라.

그 g(n)의 값이 이 문제 (2)에 대한 당신의 점수가 된다.


이 문제의 (2)번은 n이 6의 배수이면 18점을 받고 그렇지 않으면 0점처리됩니다. 1부터 5까지 다 넣고 아 그냥 0이구나! 하고 결정내렸을 학생은...




1998년 도쿄대학 후기 이과 제3문


나온지 20년이 지난 지금도 일본 입시 최고난도의 문제라고 뽑히는 문제. 오르비에서 봤었던 거 같은데... 해석은 여기 참조: https://udaqueness.blog/2020/05/04/%EC%82%AC%EC%83%81-%EC%B5%9C%EC%95%85%EC%9D%98-%EC%9D%BC%EB%B3%B8-%EC%9E%85%EC%8B%9C-%EC%88%98%ED%95%99-%EB%AC%B8%EC%A0%9C/ 


다음은 한 책에서 인용한 내용


"대입 사상 1위에 랭크되는 초난문제다.어려운 것은 (2)로 실험을 할 것으로 예상할 수 있지만 완벽하게 논증하는 것은 보통이 아니다.문제 입수 당시 A학원에서는 해답 작성을 중단, 귀가하게 된 것으로 알려졌다. 최악, 다음날도 풀리지 않을 때는 어떻게 할지도 논의한 것 같다.

다음날 아침 B학원 관계자로부터 전화가 와 학원 해답을 내놓아야 하니 시급히 풀어달라고 했다. 그래서 프랑스에 장기 체류 중인 친구 C(대학 조교수)와 메일로 연락해 개요를 설명하고 풀기로 했다. 몇 번의 교환 끝에 해답을 만들어 낸 것은 다음날의 일이다.

이 정삼각형 변환은 대학 군론의 첫 번째에 나오는 이야기지만 그것을 초등적인 문제에 응용한 것은 첫 경험이다.

시험에서는 완전해는 무리라도 충분성등의 부분점은 딸 수 있을 것이다.그런 의미에서 좋은 문제라 할 수도 있다.덧붙여 A학원의 해답은 C의 지인인 D교수가 쓴 것을 참고로 한 것 같다."




2013년 게이오기주쿠대학 종합정책학부 입시 문제


수학적인 어떤 가치는 없는 스도쿠 문제였습니다. 한 수학 강사가 풀어본 결과 32분 걸렸다고 합니다. 해답은 다음





2018년 도호쿠대학 이과 제3문


정수 a,  b는 등식


을 만족시킨다고 한다.


(1) a, b는 함께 양수라는 것을 보여라.

(2) b>1이라면 a는 짝수임을 보여라.

(3) 위 등식을 만족하는 정수쌍 (a, b)를 모두 구하여라.


아까 나온 문제랑 비슷합니다. 답은 (1,1), (2,3)밖에 없습니다.



2009년 히토쓰바시대학 전기 제1문


2 이상의 정수 m, n은 m^3+1^3=n^3+10^3을 만족한다. m, n을 구하여라.


이 수는 사실 수학에 관심이 많다면 한번쯤 들어봤을 라마누잔의 택시수를 문제로 낸 것입니다.


인수분해와 정수론을 이용하여 후보를 줄인 후 구하는 문제라고 하네요.



2014년 오사카대학 이과 전기 제3문


저거 위에 거 정수부분 구하라네요.


Simple is best라는 수학의 본질을 나타내는 문제라고 하는데, 보기에는 어려워 보이지만 정적분을 이용하여 풀면 됩니다.




2021년 히토쓰바시대학 제1문


1000 이하의 소수는 250개 이하인 것을 보여라.


이 문제는 해설이 꽤 긴 편인데, 세 줄만에 풀리는 정리가 있다고 하네요.



2021년 도쿄공업대학 제1문


양의 정수에 관한 사건 

(*)10진법으로 표현했을 때에, 어떤 자리에도 숫자 9가 없다

를 생각한다. 다음 문제에 답하라.

(1) k를 양의 정수라고 할 때, 10^k-1 이상 10^k 미만에서 사건(*)을 만족하는 양의 정수의 개수를 ak라고 하자. 이 때, ak를 k에 관한 식으로 표현하라.

(2) 양의정수 n에 대해

bn=위에 나온 대로(일본어 다 하실 줄 아시죠?)

이라고 하자. 이 때, 모든 양의 정수 k에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라. (위 그림 참조)


이 문제에서 신기한 점은, 조화급수에서 9가 들어간 항만 다 빼면 수렴한다는 겁니다.    



2019년 도쿄공업대학 제4문


해석 귀찮


한마디로, 3차원 공간을 평면으로 나누면 최대 몇개로 나눠지는지. 그 다음 큰 수는 뭔지, 또 그 다음 수는 뭔지에 관한 문제입니다. 공간분할 문제로, 어떤이는 헤이세이 시대에 그래프 이론 문제(위에 98년 도쿄대 문제)가 있었다면 레이와 시대에는 이 문제가 있다고 말할 정도로 어렵다고 하네요.


 

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