적분 가능성도 있음?
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넓이만 정의할수 있으면 되나??
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뭔말인지 이해를 못했어
그냥 미분가능성 문제 풀다가 뻘글 쓴거십니다..
적분에도 종류가 좀 많아서요
고등학교에서 하는 정적분은 리만 적분인데
정의역내에서 불연속인 점의 집합이 가산(countable)집합이면 리만 적분 가능합니다.
집합을 유한집합, 무한집합으로 구분하였을 때 유한집합은 원소의 개수가 유한개(특정 실수 개)인 것이고, 그렇지 않은 경우를 무한집합이라고 해요
무한집합은 다시 가산집합(countable set)과 비가산집합(noncountable set)으로 구분되고요. 우리가 보통 알고 있는 정수 집합이랑 유리수 집합이 가산집합에 속합니다. (정수집합이 가산이니 그것의 부분집합인 자연수 집합도 자연스레 가산이겠죠)
무리수 집합은 비가산집합이고요. 대충 지나가는 말로 자연수의 개수랑 유리수의 개수가 같다 이런 거 들어보신 적있으시면 그게 이런 맥락임
그래서 모든 유리수인 x에서 불연속인 함수는 리만 적분가능하지만 모든 무리수에서 불연속인 함수는 리만 적분가능하지 않습니다.
아 가산집합인 거도 적분가능하면 당연히 그보다 불연속점의 수가 적은 유한집합인 경우도 가능하고요
고등학교 교과서에서는 불연속인 지점에서 적분 구간을 한 번 쪼개어 두 정적분의 합으로 구하는 방식으로 설명하고 있습니다
우오아아아우...